مرکز دانلود خلاصه کتاب و جزوات دانشگاهی

توابع بسل :

معادلة دیفرانسیل (1)

را که در آن p یک عدد ثابت غیر منفی است معادلة بسل نامند و
جواب های آن به توابع بسل مشهورند این تابع برای اولین بار در بررسی های دیفرانسیل بونولی در خصوص نوسان های زنجیی آویخته و سپس مجدداً در نظریه اویلر برای ارتعاشات غشای مدور و مطالعات بسل روی حرکت سیارات پدیدار شد.

کاربرد توابع بسل :

اخیراً توابع بسل در فیزیک و مهندسی در رابطه با انتشار امواج کشانی، حرکت سیالات و به خصوص در بسیاری از مسائل مربوط به نظریة پتانسیل و پخش آن دارای تقارن استوانه ای هستند کاربردهای زیادی دارند.

یکی از ساده ترین کاربردهای فیزیکی توابع بسل ، در نظریة اویلر راجع به ارتعاشات غشای مدور ظاهر می گردد.

 

تعریف تابع (x ) J_{P :}

بررسی جواب های معادلة (1) را با توجه به این مطلب شروع می کنیم که بعد از تقسیم معادلة (1) بر x² ضرایب و y به ترتیب و می شوند. بنابراین و بدین ترتیب مبدأ یک نقطة غیر عادی منظم است و معادلة به صورت و توان ها G مربوط و می باشد.

از قضیة (فرض کنید یک نقطة غیر عادی منظم معادلة دیفرانسیل باشد و بسل های سری توانی به صورت و برای توابع در فاصلة با معتبر باشند فرض کنید که معادلة شاخص دارای دو جواب حقیقی باشد آن گاه معادله در فاصلة دارای حداقل یک جواب به صورت

است که در آن d_n ها توسط فرمول بازگشتی

با قرار دادن m₁ به جای m بر حسب به دست می آیند و سری برای همگراست بعلاوه هر گاه صفر و یا یک عدد صحیح مثبت نباشد در آن صورت معادلة (1) در همان فاصلة دارای جواب مستقل خطی دیگری به صورت

است که در این حالت ضرایب a_n بر حسب به دست می آیند مشروط به این که m₂ را به جای m قرار دهیم و باز هم سری در فاصلة همگراست. چنین بر می آید که معادلة (1) دارای جواب به صورت

است که در آن و سری می توان برای کلیة xها همگراست برای تعیین این جواب می نویسیم.

به کمک این فرمول ها می توان جملات طرف چپ معادلة (1) را به صورت زیر در آورد.

هر گاه این سری ها را با هم جمع کنیم و ضریب را برابر با صفر قرار دهیم و قدری ساده کنیم به رابطة بازگشتی زیر برای a_n ها دست خواهیم یافت.

(3)

یا

(4)

می دانیم که مخالف صفر و دلخواه است چون از رابطة (4 ) داریم و کاربرد مکرر (4) نتیجه می دهد که برای هر اندیس فرد بنابراین ضرایب مخالف صفر جواب (2) چنین اند.

 

و خود جواب عبارت می شود از

(5)

تابع بسل از نوع اول و از مرتبة p که آن را با J_p­­ (x) نشان می دهند با قرار دادن در (5)تعریف می گردد بنابراین

(6)

 

 

مفیدترین توابع بسل آن هایی هستند که از مرتبة و یک باشند که
عبارت اند از

نمودار این دو تابع در شکل زیر رسم شده است .

-t این نمودارها خواص جالب متعددی از توابع و را نشان
می دهند هر یک از آن ها دارای یک رفتار نوسانی میر است که در نتیجه بی نهایت صفر مثبت دارد در صفرهای این دو تابع به تناوب قرار می گیرند به نحوی که صفرهای توابع sin x و cos x را تداعی می کنند.

جواب عمومی معادلة بسل :

یک جواب خصوصی از (1) مربوط به توان یعنی را یافته ایم حال برای یافتن جواب عمومی باید به ساختن جواب مستقل دوم بپردازیم یعنی جوابی که مضرب ثابتی از نباشد هر جوابی از این گونه را تابع بسل از نوع دوم می نامند.

روش طبیعی آن است که توان را امتحان کنیم ولی طی این کار هنگامی که اختلاف صفر یا یک عدد صحیح مثبت باشد یعنی هر گاه عدد ثابت غیر منفی p یک عدد صحیح و یا نصف یک عدد صحیح فرد باشد انتظار برخورد با مشکلات وجود دارد.

بین ابتدا فرض می کنیم که p عدد صحیح نباشد در این حالت در عملیات قبلی p را به –p تبدیل می کنیم و به سادگی می بینیم که بحث قبلی تقریباً بدون تغییر پیش می رود تنها استثنا آن است که رابطة (3) به صورت

در می آید و اگر احیاناً در آن صورت با انتخاب n=1 متوجه
می شویم که هیچ اجباری برای انتخاب وجود ندارد ولی چون تنها می خواهیم به یک جواب خصوصی برسیم مسلماً مجازیم که a₁را برابر با صفر انتخاب کنیم همین اشکال با و n=3 و الی آخر وجود دارد و در همة حالات آن را با انتخاب می کنیم بقیة چیزها طبق روال قبلی پیش می رود و جواب دومی به صورت

(9)

به دست می آید جملة اول این سری برابر است با

بنابراین در حوالی کراندار است این دو جواب مستقل اند و جواب عمومی (1) عبارت است از

(10) (p غیر صحیح)

در حالتی که p عدد صحیح و مثبت mباشد وضعیت کاملاً متفاوت است در این حالت فرمول (9) به صورت

در می آید زیرا عبارات وقتی m-1 صفرند هر گاه متغیر ظاهری n را به m+n تبدیل و در عوض مجموع را از شروع کنیم می بینیم که

این امر نشان می دهد که مستقل از نیست بنابراین در این حالت جواب عمومی معادلة (1) نیست و بررسی ادامه می یابد.

در این مرحله کار نسبتاً پیچیده می شود و ما به طور بسیار خلاصه طرحی از آن ارائه می کنیم به سادگی دیده می شود که جواب دوم مستقل از برابر است با

ولی متداول آن است که راه نسبتاً متفاوت زیرا پیش گیریم وقتی p عدد صحیح نباشد هر تابعی به صورت (10) و منجمله خود یک تابع بسل از نوع دوم است صورت متعارف تابع بسل از نوع دوم با

(11)

تعریف می شود این انتخاب به ظاهر غیر عادی به دلایل مناسبی صورت گرفته است که هم اکنون به تشریح آن ها می پردازیم ولی باید توجه کنیم که (10) را می توان به صورت معادل زیر نوشت

(12) (p غیر صحیح)

هنوز نمی دانیم که وقتی p عدد صحیح m است چه باید کرد . زیرا (11) در این حالت بی معناست بین از یک تحلیل مفعل می توان دید که تابعی که توسط (13)

تعریف می شود موجود و یک تابع بسل از نوع دوم است و در نتیجه

(14)

در همة حالات جواب عمومی معادلة بسل است خواه p یک عدد صحیح باشد یا نباشد نمودار توسط منحنی خط چین شکل 1 نشان داده شده است این نمودار نشان دهندة این نکته مهم است که برای هر تابع در نزدیکی مبدأ بیکران است نتیجتاً اگر تنها علاقه مند به
جواب هایی از معادلة بسل باشیم که در نزدیک کرا ندارند که در اغلب موارد کاربردی نیز چنین است باید در (14) مقدار را برابر صفر انتخاب کنیم اکنون به تشریح دلیل انتخاب فرم غیر عادی (11) می پردازیم گفتیم که راههای زیادی برای تعریف توابع بسل از نوع دوم وجود دارد تعریف های (11) و (13) به دو دلیل بسیار مناسب اند اولاً شکل (11) به ما امکان
می دهد تا به طریقی نسبتاً ساده ثابت کنیم که حد (13) موجود است و ثانیاً این تعاریف نشان می دهند که فشار برای مقادیر بزرگ به طور طبیعی با رفتار مطابقت دارد برای آن که بینیم مقصود از این عبارت چیست می دانیم که معادلة بسل (1) با تعریف تابع جدید به صورت زیر در می آید.

(15)

وقتی x بسیار بزرگ باشد معادله (15) را می توان با معادلة دیفرانسیل که جواب های مستقل آن و هستند به خوبی تخریب زد بنابراین انتظار می رود که برای مقادیر بزرگ x رفتار هر تابع بسل y(x) شبیه رفتار یک ترکیب خطی از توابع

باشد این انتظار توسط روابط زیر تقویت می شود.

که در آن ها توابع و وقتی کرا ندارند در این بند به بررسی سه حالت خاص معادلة بسل (1) می پردازیم روشن است که نقطة غیر عادی منظم است برای سهولت تنها به بررسی می پردازیم.

معادلة بسل رتبة صفر :

این مثال حالتی را که در آن ریشه های معادلة شاخص برابرند توضیح می دهد با قرار دادن در معادلة (1) به دست می آید.

(16)

با جایگزینی (17)

داریم

ریشه های معادلة شاخص عبارتند از و بنابراین حالت برابری دو ریشه است رابطة بازگشتی عبارت از (19)

برای تعیین قرار می دهیم آن گاه از رابطة (18) نتیجه می شود که برای آن که ضریب صفر شود باید را برابر صفر انتخاب کرد. بنابراین از رابطة (19) داریم.

علاوه بر این

با قرار دادن n= 2m داریم