مقاله235-مدلسازي و شبيه سازي اثر اتصالات ترانسفورماتور بر چگونگي انتشار 141 ص

شكل (1-1) مدل ماتريسي ترانسفورماتور با اضافه كردن اثر هسته مورق	صفحه 5
شكل (1-2) ) مدار ستارهي مدل ترانسفورماتور قابل اشباع	صفحه 6
شكل (1-3) ترانسفورماتور زرهی تک فاز	صفحه 9
شكل (1-4) مدار الکتريکی معادل شكل (1-3)	صفحه 9
شكل (2-1) ترانسفورماتور	صفحه 14
شكل (2-2) ترانسفورماتور ايده ال	صفحه 14
شكل (2-3) ترانسفورماتور ايده ال بل بار	صفحه 15
شكل (2-4) ترانسفورماتور با مولفه های شار پيوندی و نشتي	صفحه 16
شكل (2-5) مدرا معادل ترانسفورماتور	صفحه 20
شكل (2-6) دياگرام شبيه سازی يک ترانسفورماتور دو سيم پيچه	صفحه 24
شكل (2-7) ترکيب RL موازی	صفحه 26
شکل (2-8) ترکيب RC موازی	صفحه 27
شكل (2-9) منحنی مغناطيس کنندگی مدار باز ترانسفورماتور	صفحه 30
شكل (2-10) رابطه بين و	صفحه 30
شكل (2-11) دياگرام شبيه سازی يک ترانسفورماتور دو سيم پيچه با اثر اشباع	صفحه 32
شكل (2-12) رابطه بين و	صفحه 32
شكل (2-13) رابطه بين و	صفحه 32
شكل (2-14) منحنی مدار باز با مقادير rms	صفحه 36
شكل (2-15) شار پيوندی متناظر شكل (2-14) سينوسی	صفحه 36
شکل (2-16) جريان لحظه ای متناظر با تحريک ولتاژ سينوسی	صفحه 36
شكل (2-17) منحني مدار باز با مقادير لحظهاي	صفحه 40
شكل (2-18) منحني مدار باز با مقادير rms	صفحه 40
شكل (2-19) ميزان خطاي استفاده از منحني rms	صفحه 41
شكل (2-20) ميزان خطاي استفاده از منحني لحظهاي	صفحه 41
شكل (2-21) مدار معادل مغناطيسي ترانسفورماتور سه فاز سه ستونه	صفحه 42
شكل (2-22) مدار معادل الكتريكي ترانسفورماتور سه فاز سه ستونه	صفحه 43
شكل (2-23) مدار معادل مغناطيسي ترانسفورماتور سه فاز پنج ستونه	صفحه 44
شكل (2-24) ترانسفورماتور پنج ستونه	صفحه 45
شكل (2-25) انتگرالگيري در يك استپ زماني به روش اولر	صفحه 47
شكل (2-26) انتگرالگيري در يك استپ زماني به روش trapezoidal	صفحه 49
شكل (3-1) دياگرام فازوري خطاها	صفحه 62
شكل (3-2) شكل موج ولتاژ Vab	صفحه 63
شكل (3-3) شكل موج ولتاژ Vbc	صفحه 63
شكل (3-4) شكل موج ولتاژ Vca	صفحه 63
شكل (3-5) شكل موج ولتاژ Vab	صفحه 63
شكل (3-6) شكل موج جريان iA	صفحه 64
شكل (3-7) شكل موج جريان iB	صفحه 64
شكل (3-8) شكل موج جريان iA	صفحه 64
شكل (3-9) شكل موج جريان iA	صفحه 64
شكل (3-10) شكل موجهاي ولتاژ Va , Vb , Vc	صفحه 65
شكل (3-11) شكل موجهاي ولتاژ Va , Vb , Vc	صفحه 68
شكل (3-12) شكل موجهاي جريان ia , ib , ic	صفحه 68
شكل (3-13) شكل موجهاي ولتاژ Va , Vb , Vc	صفحه 69
شكل (3-14) شكل موجهاي ولتاژ Va , Vb , Vc	صفحه 69
شكل (3-15) شكل موجهاي جريان , iBiA	صفحه 69
شكل (3-16) شكل موج جريانiA	صفحه 70
شكل (3-16) شكل موج جريان iB	صفحه 70
شكل (3-17) شكل موج جريان iC	صفحه 70
شكل (3-18) شكل موجهاي ولتاژ Va , Vb , Vc	صفحه 71
شكل (3-19) شكل موجهاي جريان ia , ib , ic	صفحه 71
شكل (3-20) شكل موجهاي ولتاژ Va , Vb , Vc	صفحه 73
شكل (3-21) شكل موجهاي جريان ia , ib , ic	صفحه 73
شكل (3-22) شكل موجهاي جريان ia , ib , ic	صفحه 74
شكل (3-23) شكل موج ولتاژ Va	صفحه 74
شكل (3-24) شكل موج ولتاژ Vb	صفحه 74
شكل (3-25) شكل موج ولتاژ Vc	صفحه 74
شكل (3-26) شكل موج جريانiA	صفحه 74
شكل (3-27) شكل موج جريان iB	صفحه 74
شكل (3-28) شكل موج جريان iC	صفحه 74
شكل (3-29) شكل موج جريانiA	صفحه 75
شكل (3-30) شكل موج جريان iB	صفحه 75
شكل (3-31) موج جريان iC	صفحه 75
شكل (3-32) شكل موج جريانiA	صفحه 75
شكل (3-33) شكل موج جريان iB	صفحه 75
شكل (3-34) شكل موج جريان iC	صفحه 75
شكل (3-35) شكل موج ولتاژ Va	صفحه 76
شكل (3-36) شكل موج ولتاژ Vb	صفحه 76
شكل (3-37) شكل موج ولتاژ Vc	صفحه 76
شكل (3-38) شكل موج جريانiA	صفحه 76
شكل (3-39) شكل موج جريان iB	صفحه 76
شكل (3-40) شكل موج جريان iC	صفحه 76
شكل (3-41) شكل موج جريانiA	صفحه 76
شكل (3-42) شكل موج جريان iB	صفحه 76
شكل (3-43) شكل موج جريان iC	صفحه 76
شكل (3-44) شكل موج ولتاژ Va	صفحه 77
شكل (3-45) شكل موج ولتاژ Vb	صفحه 77
شكل (3-46) شكل موج ولتاژ Vc	صفحه 77
شكل (3-47) شكل موج جريانiA	صفحه 77
شكل (3-48) شكل موج جريان iB	صفحه 77
شكل (3-49) شكل موج جريان iC	صفحه 77
شكل (3-50) شكل موج جريانiA	صفحه 77
شكل (3-51) شكل موج جريان iB	صفحه 77
شكل (3-52) شكل موج جريان iC	صفحه 77
شكل (3-53) شكل موج ولتاژ Va	صفحه 78
شكل (3-54) شكل موج ولتاژ Vb	صفحه 78
شكل (3-55) شكل موج ولتاژ Vc	صفحه 78
شكل (3-56) شكل موج جريانiA	صفحه 78
شكل (3-57) شكل موج جريان iB	صفحه 78
شكل (3-58) شكل موج جريان iC	صفحه 78
شكل (3-59) شكل موج جريانiA	صفحه 78
شكل (3-60) شكل موج جريان iB	صفحه 78
شكل (3-61) شكل موج جريان iC	صفحه 78
شكل (3-62) شكل موج ولتاژ Va	صفحه 79
شكل (3-63) شكل موج ولتاژ Vb	صفحه 79
شكل (3-64) شكل موج ولتاژ Vc	صفحه 79
شكل (3-65) شكل موج جريانiA	صفحه 79
شكل (3-66) شكل موج جريان iB	صفحه 79
شكل (3-67) شكل موج جريان iC	صفحه 79
شكل (3-68) شكل موج جريانiA	صفحه 79
شكل (3-69) شكل موج جريان iB	صفحه 79
شكل (3-70) شكل موج جريان iC	صفحه 79
شكل (3-71) شكل موج ولتاژ Va	صفحه 80
شكل (3-72) شكل موج ولتاژ Vb	صفحه 80
شكل (3-73) شكل موج ولتاژ Vc	صفحه 80
شكل (3-74) شكل موج جريانiA	صفحه 80
شكل (3-75) شكل موج جريان iB	صفحه 78
شكل (3-76) شكل موج جريان iC	صفحه 80
شكل (3-77) شكل موج جريانiA	صفحه 80
شكل (3-78) شكل موج جريان iB	صفحه 80
شكل (3-79) شكل موج جريان iC	صفحه 80
شكل (3-80) شكل موجهاي ولتاژ)(kV با PSCAD	صفحه 81
شكل (3-81) شكل موجهاي ولتاژ)(kV با PSCAD	صفحه 81
شكل (3-82) شكل موجهاي جريان)(kV با PSCAD	صفحه 82
شكل (3-83) شكل موجهاي جريان)(kV با PSCAD	صفحه 82
شكل (3-84) شكل موجهاي ولتاژ با برنامه نوشته شده	صفحه 83
شكل (3-85) شكل موجهاي ولتاژ با برنامه نوشته شده	صفحه 83
شكل (3-86) شكل موجهاي جريان با برنامه نوشته شده	صفحه 84
شكل (3-87) شكل موجهاي جريان با برنامه نوشته شده	صفحه 84
شكل (3-88) شكل موجهاي ولتاژ)(kV با PSCAD	صفحه 85
شكل (3-89) شكل موجهاي ولتاژ)(kV با PSCAD	صفحه 85
شكل (3-90) شكل موجهاي جريان)(kV با PSCAD	صفحه 86
شكل (3-91) شكل موجهاي جريان)(kV با PSCAD	صفحه 86
شكل (3-92) شكل موجهاي ولتاژ با برنامه نوشته شده	صفحه 87
شكل (3-93) شكل موجهاي ولتاژ با برنامه نوشته شده	صفحه 87
شكل (3-94) شكل موجهاي جريان با برنامه نوشته شده	صفحه 88
شكل (3-95) شكل موجهاي جريان با برنامه نوشته شده	صفحه 88
شكل (3-96) شكل موجهاي ولتاژ)(kV با PSCAD	صفحه 89
شكل (3-97) شكل موجهاي ولتاژ)(kV با PSCAD	صفحه 89
شكل (3-98) شكل موجهاي جريان)(kV با PSCAD	صفحه 90
شكل (3-99) شكل موجهاي جريان)(kV با PSCAD	صفحه 90
شكل (3-100) شكل موجهاي ولتاژ با برنامه نوشته شده	صفحه 91
شكل (3-101) شكل موجهاي ولتاژ با برنامه نوشته شده	صفحه 91
شكل (3-102) شكل موجهاي جريان با برنامه نوشته شده	صفحه 92
شكل (3-103) شكل موجهاي جريان با برنامه نوشته شده	صفحه 92
شكل (3-104) شكل موجهاي ولتاژ)(kV با PSCAD	صفحه 93
شكل (3-105) شكل موجهاي ولتاژ)(kV با PSCAD	صفحه 93
شكل (3-106) شكل موجهاي جريان)(kV با PSCAD	صفحه 94
شكل (3-107) شكل موجهاي جريان)(kV با PSCAD	صفحه 94
شكل (3-108) شكل موجهاي ولتاژ با برنامه نوشته شده	صفحه 95
شكل (3-109) شكل موجهاي ولتاژ با برنامه نوشته شده	صفحه 95
شكل (3-110) شكل موجهاي جريان با برنامه نوشته شده	صفحه 96
شكل (3-111) شكل موجهاي جريان با برنامه نوشته شده	صفحه 96
شكل (3-112) شكل موجهاي ولتاژ)(kV با PSCAD	صفحه 97
شكل (3-113) شكل موجهاي ولتاژ)(kV با PSCAD	صفحه 97
شكل (3-114) شكل موجهاي جريان)(kV با PSCAD	صفحه 98
شكل (3-115) شكل موجهاي جريان)(kV با PSCAD	صفحه 98
شكل (3-116) شكل موجهاي ولتاژ با برنامه نوشته شده	صفحه 99
شكل (3-117) شكل موجهاي ولتاژ با برنامه نوشته شده	صفحه 99
شكل (3-118) شكل موجهاي جريان با برنامه نوشته شده	صفحه 100
شكل (3-119) شكل موجهاي جريان با برنامه نوشته شده	صفحه 100
شكل (3-120) شكل موجهاي ولتاژ)(kV با PSCAD	صفحه 101
شكل (3-121) شكل موجهاي ولتاژ)(kV با PSCAD	صفحه 101
شكل (3-122) شكل موجهاي جريان)(kV با PSCAD	صفحه 102
شكل (3-123) شكل موجهاي جريان)(kV با PSCAD	صفحه 102
شكل (3-124) شكل موجهاي ولتاژ با برنامه نوشته شده	صفحه 103
شكل (3-125) شكل موجهاي ولتاژ با برنامه نوشته شده	صفحه 103
شكل (3-126) شكل موجهاي جريان با برنامه نوشته شده	صفحه 104
شكل (3-127) شكل موجهاي جريان با برنامه نوشته شده	صفحه 104
شكل (3-128) شكل موجهاي ولتاژ)(kV با PSCAD	صفحه 105
شكل (3-129) شكل موجهاي ولتاژ)(kV با PSCAD	صفحه 105
شكل (3-130) شكل موجهاي جريان)(kV با PSCAD	صفحه 106
شكل (3-131) شكل موجهاي جريان)(kV با PSCAD	صفحه 106
شكل (3-132) شكل موجهاي ولتاژ با برنامه نوشته شده	صفحه 107
شكل (3-133) شكل موجهاي ولتاژ با برنامه نوشته شده	صفحه 107
شكل (3-134) شكل موجهاي جريان با برنامه نوشته شده	صفحه 108
شكل (3-135) شكل موجهاي جريان با برنامه نوشته شده	صفحه 108
شكل (3-136) شكل موجهاي ولتاژ)(kV	صفحه 109
شكل (3-137) شكل موجهاي ولتاژ)(kV	صفحه 110
شكل (3-138) شكل موجهاي جريان (kA)	صفحه 111
شكل (3-139) شكل موجهاي ولتاژ)(kV	صفحه 112
شكل (3-140) شكل موجهاي ولتاژ)(kV	صفحه 113
شكل (3-141) شكل موجهاي جريان (kA)	صفحه 114
شكل (3-142) شكل موجهاي جريان (kA)	صفحه 115
شكل (3-143) شكل موجهاي جريان (kA)	صفحه 116
شكل (3-144) شكل موجهاي جريان (kA)	صفحه 117
شكل (3-145) شبكه 14 باس IEEE	صفحه 118

چكيده

در سالهاي اخير، مسايل جدي كيفيت توان در ارتباط با افت ولتاژهاي ايجاد شده توسط تجهيزات و مشتريان، مطرح شده است، كه بدليل شدت استفاده از تجهيزات الكترونيكي حساس در فرآيند اتوماسيون است. وقتي كه دامنه و مدت افت ولتاژ، از آستانه حساسيت تجهيزات مشتريان فراتر رود ، ممكن است اين تجهيزات درست كار نكند، و موجب توقف توليد و هزينهي قابل توجه مربوطه گردد. بنابراين فهم ويژگيهاي افت ولتاژها در پايانه هاي تجهيزات لازم است. افت ولتاژها عمدتاً بوسيله خطاهاي متقارن يا نامتقارن در سيستمهاي انتقال يا توزيع ايجاد ميشود. خطاها در سيستمهاي توزيع معمولاً تنها باعث افت ولتاژهايي در باسهاي مشتريان محلي ميشود. تعداد و ويژگيهاي افت ولتاژها كه بعنوان عملكرد افت ولتاژها در باسهاي مشتريان شناخته ميشود، ممكن است با يكديگر و با توجه به مكان اصلي خطاها فرق كند. تفاوت در عملكرد افت ولتاژها يعني، دامنه و بويژه نسبت زاويه فاز، نتيجه انتشار افت ولتاژها از مكانهاي اصلي خطا به باسهاي ديگر است. انتشار افت ولتاژها از طريق اتصالات متنوع ترانسفورماتورها، منجر به عملكرد متفاوت افت ولتاژها در طرف ثانويه ترانسفورماتورها ميشود. معمولاً، انتشار افت ولتاژ بصورت جريان يافتن افت ولتاژها از سطح ولتاژ بالاتر به سطح ولتاژ پايينتر تعريف ميشود. بواسطه امپدانس ترانسفورماتور كاهنده، انتشار در جهت معكوس، چشمگير نخواهد بود. عملكرد افت ولتاژها در باسهاي مشتريان را با مونيتورينگ يا اطلاعات آماري ميتوان ارزيابي كرد. هر چند ممكن است اين عملكرد در پايانههاي تجهيزات، بواسطه اتصالات سيمپيچهاي ترانسفورماتور مورد استفاده در ورودي كارخانه، دوباره تغيير كند. بنابراين، لازم است بصورت ويژه انتشار افت ولتاژ از باسها به تاسيسات كارخانه از طريق اتصالات متفاوت ترانسفورماتور سرويس دهنده، مورد مطالعه قرار گيرد. اين پايان نامه با طبقه بندی انواع گروههای برداری ترانسفورماتور و اتصالات آن و همچنین دسته بندی خطاهای متقارن و نامتقارن به هفت گروه، نحوه انتشار این گروهها را از طریق ترانسفورماتورها با مدلسازي و شبيهسازي انواع اتصالات سیم پیچها بررسی میکند و در نهایت نتایج را ارایه مینماید و این بررسی در شبکه تست چهارده باس IEEE برای چند مورد تایید میشود.

كليد واژهها: افت ولتاژ، مدلسازي ترانسفورماتور، اتصالات ترانسفورماتور، اشباع، شبيه سازي.

Key words: Voltage Sag, Transformer Modeling, Transformer Connection, Saturation, Simulation.

فصل 1

مقدمه

مقدمه

1-1 مقدمه

يکی از ضعيفترين عناصر نرم افزارهای مدرن شبيه سازی، مدل ترانسفورماتور است و فرصتهای زيادی برای بهبود شبيهسازی رفتارهای پيچيده ترانسفورماتور وجود دارد، که شامل اشباع هسته مورق مغناطيسی، وابستگی فرکانسی، تزويج خازنی، و تصحيح ساختاری هسته مورق و ساختار سيم پيچی است.

مدل ترانسفورماتور بواسطه فراوانی طراحيهای هسته مورق و همچنين به دليل اينکه برخی از پارامترهای ترانسفورماتور هم غير خطی و هم به فرکانس وابستهاند، می تواند بسيار پيچيده باشد. ويژگيهای فيزيکی رفتاری که، با در نظر گرفتن فرکانس، لازم است برای يک مدل ترانسفورماتور بدرستی ارائه شود عبارتند از:

پيکربنديهای هسته مورق و سيم پيچی،
اندوکتانسهای خودی و متقابل بين سيم پيچها،
شارهای نشتی،
اثر پوستی و اثر مجاورت در سيم پيچها،
اشباع هسته مورق مغناطيسی،
هيسترزيس و تلفات جريان گردابی در هسته مورق،
و اثرات خازنی.

مدلهايی با پيچيدگيهای مختلف در نرم افزارهای گذرا برای شبيه سازي رفتار گذرای ترانسفورماتورها، پياده سازی شده است. اين فصل يک مرور بر مدلهای ترانسفورماتور، برای شبيه سازی پديده های گذرا که کمتر از رزونانس سيم پيچ اوليه(چند کيلو هرتز) است، می باشد، که شامل فرورزونانس، اکثر گذراهای کليدزنی، و اثر متقابل هارمونيکها است.

1-2 مدلهای ترانسفورماتور

يک مدل ترانس را می توان به دو بخش تقسيم کرد:

معرفی سيم پيچها.
و معرفی هسته مورق آهنی.

اولين بخش خطی است، و بخش دوم غير خطی، و هر دوی آنها وابسته به فرکانس است. هر يك از اين دو بخش بسته به نوع مطالعهای که به مدل ترانسفورماتور نياز دارد، نقش متفاوتی بازی میکند. برای نمونه، در شبيهسازيهاي فرورزونانس، معرفي هسته مورق حساس است ولی در محاسبات پخش بار و اتصال کوتاه صرفنظر میشود.

برای کلاس بندی مدلهای ترانسفورماتور چند معيار را میتوان بکاربرد:

تعداد فازها،
رفتار (پارامترهای خطی/ غير خطی، ثابت/ وابسته به فرکانس)،
و مدلهای ریاضی.

با دستهبندي مدلسازي ترانسفورماتورها، ميتوان آنها را به سه گروه تقسيم كرد.

اولین گروه از ماتريس امپدانس شاخه يا ادميتانس استفاده میکند.
گروه دوم توسعه مدل ترانسفورماتور قابل اشباع به ترانسفورماتورهای چند فاز است. هر دو نوع مدل در نرم افزار EMTP پياده سازی شده است، و هر دوی آنها برای شبيه سازی برخی از طراحيهای هسته مورق، محدوديتهای جدی دارد.
وگروه سوم مدلهای براساس توپولوژی، كه گروه بزرگی را تشکيل می دهد و روشهای زيادی بر اساس آن ارائه شده است. اين مدلها از توپولوژی هسته مورق بدست می آید و میتواند بصورت دقيق هر نوع طراحی هسته مورق را در گذراهای فرکانس پايين، در صورتيکه پارامترها بدرستی تعيين شود، مدل کند.

1-2-1 معرفی مدل ماتریسي Matrix Representation (BCTRAN Model)

معادلات حالت دائم يک ترانسفورماتور چند سيم پيچه چند فاز را میتوان با استفاده از ماتريس امپدانس شاخه بيان کرد:

(1-1)

در محاسبات گذرا، رابطه فوق بايد بصورت زير نوشته شود:

(1-2)

که و به ترتيب بخش حقيقی و موهومی هستند، که المانهای آنها را میتوان از آزمایشهای تحريک بدست آورد.

اين روش دارای تزويج فاز به فاز است، که ويژگیهای ترمينال ترانسفورماتور را مدل میکند، ولی فرقی بين توپولوژی هسته مورق و سيم پيچ قائل نمیشود زيرا در همه طراحيهای هسته مورق، رفتار رياضی يکسان اعمال میشود.

همچنين چون ماتريس امپدانس شاخه برای جريانهای تحريکِ بسيار کم يا هنگامی که اين جريانهاي تحريك بطور کلی ناديده گرفته میشود، ماتريس منفرد[1] میشود، موجب ايجاد برخي مشكلات از لحاظ دقت در محاسبات فوق ميگردد[1]. بعلاوه، امپدانسهای اتصال کوتاه، که مشخصههای بسيار مهمی از ترانسفورماتور را توصيف میکند، در اندازه گيری با چنين تحريکهايی از دست میرود. برای حل اين مشکلات، ماتريس ادميتانس بايد استفاده شود:

(1-3)

که هميشه وجود دارد و عناصر آن مستقيما از آزمایشهای اتصال کوتاه استاندارد بدست میآيد.

برای مطالعات گذرا، بايد به دو مولفه مقاومتی والقائی تقسيم شود و ترانسفورماتور با معادله زير توصيف ميگردد:

(1-4)

همه اين مدلها خطی هستند، هر چند، در بسياری از مطالعات گذرا لازم است اثرات اشباع و هيسترزيس وجود داشته باشد. در اين حالت براي وارد كردن اثرات اشباع، اثرات جريان تحريک را میتوان خطی کرد و در ماتريس توصيف مدل قرار داد، ولي اين کار در زمان اشباع هسته مورق میتواند منجر به خطاهاي شبیه سازی شود.

در روش ديگر، تحريک از ماتريس توصيف مدل حذف میشود و بصورت خارجی بصورت عناصر غير خطی به ترمينالهای مدلها متصل میشود (شکل 1-1).

شكل (1-1) مدل ماتريسي ترانسفورماتور با اضافه كردن اثر هسته مورق

چنين اتصال خارجی برای هسته مورق هميشه از نظر توپولوژی درست نيست، اما در بسياری از موارد بخوبی کفايت میکند.

اگر چه اين مدلها از نظر تئوری برای فرکانسی که اطلاعات پلاک در آن بدست آمده است، معتبر است، با اين حال بطور منطقی برای فرکانس های زير kHz 1 دقیق هستند.

1-2-2 مدل ترانسفورماتور قابل اشباع
Saturable Transformer Component (STC Model)

اين مدل بر مبنای مدار ستاره است (شکل 1-2 ). شاخه اصلی بعنوان يک شاخه R-L تزویج نشده است، و هر يک از سيم پيچهای ديگر بعنوان ترانسفورماتور دو سيم پيچه هستند.

شكل (1-2) ) مدار ستارهي مدل ترانسفورماتور قابل اشباع

معادله يک ترانسفورماتور N سيم پيچه تک فاز، بدون هسته مورق، همان شکل معادله (1-4) را دارد، هر چند، ضرب ماتریس متقارن است، که بطور کلی درست نيست[2]. اثرات اشباع و هيسترزيس با اضافه کردن يک القاگر غير خطی اضافی در نقطه ستاره مدل میشود. مدل STC میتواند با اضافه کردن پارامتر رلوکتانس توالی صفر، به ترانسفورماتور سه فاز توسعه یابد، اما كاربرد آن محدود میشود. اطلاعات ورودی شامل مقادیرR-L هر شاخه ستاره، نسبت دورها، و اطلاعاتی برای شاخه مغناطيس کننده است.

اين مدل دارای محدودیتهای عمدهای است:

اين مدل را برای بيش از سه سيم پيچ نمی توان بکار برد، چون مدار ستاره برای N > 3 معتبر نيست،
اندوکتانس مغناطيس کننده با مقاومت بصورت موازی، به نقطه ستاره متصل شده است، که هميشه از لحاظ توپولوژی نقطه اتصال درستی نيست،
و ناپايداريهای عددی برای موارد سه سيم پيچه گزارش شده است، هر چند مشخص شده که اين مشکل، ناشي از استفاده از مقدار منفی برای راکتانس اتصال کوتاه بوجود میآید [3]، [4].

1-2-3 مدلهای بر مبنای توپولوژیTopology-Based Models

اين گروه به دو زير گروه تقسيم شده است.

مدلهايی که با استفاده از دوگانی بدست میآيند (يعنی مدلها با يک روش مداری، بدون هيچگونه توصيف رياضی قبلی، و مدلهای هندسی، ساخته میشوند، که برای آن يک توپولوژی هسته مورق درنظر گرفته میشود، اما روش حل آنها از مسيری با توصيفات رياضی انجام میشود).

1-2-3-1 مدلهای با مبنای دوگانی[2]

مدلهای مداری معادل که از لحاظ توپولوژی ترانسفورماتور درست هستند را میتوان از يک مدل مداری مغناطيسی با استفاده از نظريه دوگانی بدست آورد [5] ، [6].

در اين روش مدلهايی ارايه میشود که دارای اثرات اشباع در هر ستون جداگانه هسته مورق، تزويج مغناطيسی فاز ميانی[3]، و اثرات نشتی است. در مدار مغناطيسی معادل، سيم پيچها بعنوان منابع نيروی محرک مغناطيسی (MMF)، مسيرهای نشتی بصورت رلوکتانسهای خطی، و هسته مورقهای مغناطيسی بصورت رلوکتانسهای قابل اشباع ظاهر میشود. معادلات مش و گره مدار مغناطيسی به ترتيب دوگان معادلات گره و مش الکتريکی معادل است.

برای اينکه مدلها، به لحاظ عملی مفيد باشد، جريان منتجه ازترانسفورماتور با ترانسفورماتور ايدهال جايگزين میشود تا تزويج و جداسازی اولیه از ثانويه را برای هسته مورق فراهم کند، و نيز نسبت دورهای اولیه به ثانويه را حفظ کند. نسبت دورها طوری انتخاب میشود كه پارامترهای هسته مورق به سيم پيچ فشار ضعيف ارجاع شود. مقاومت سيم پيچ و اتصالات سيم پيچها، خارج از ترانسفورماتورهای تزويج کننده گذاشته میشود. مزيت اين کار اين است که عملکرد هسته مورق معادل، مستقل از نحوه اتصالات سيم پيچ است. مقاومت سيم پيچ، تلفات هسته مورق، و اثرات تزويج خازنی بطور مستقيم از تبديل دوگاني بدست نمیآيد، ولی میتوان آن را به اين مدار الکتريکی معادل اضافه کرد. شکل (1-4) مدار معادل ترانسفورماتور زرهی تک فاز شكل (1-3) را با سيم پيچ متمرکز نشان میدهد که از اين طريق بدست آمده است.

شكل (1-3) ترانسفورماتور زرهی تک فاز

شكل (1-4) مدار الکتريکی معادل شكل (1-3)

ازجمله کارهای مهم اين روش مدلسازي ترانسفورماتور، كه در چند سال اخير ارايه شده است در زير آمده است:

در 1981، Dick and Watson طرز بدست آوردن مدل يک ترانسفورماتور هسته مورق متمرکز سه ستونه را ارايه کردند [7]. بخش عمده اين کار پيشنهاد يک مدل هيسترزيس جدید و تعيين پارامترهای ترانسفورماتور از طريق اندازه گيری بود.
در 1991، Arturi اين تکنيک را برای يک ترانسفورماتور راه انداز پنچ ستونه که در شرايط اشباع عميق کار می کرد، بکار برد [8].
در 1994، De León and Semlyen يک مدل جامع ترانسفورماتور را پيشنهاد کرد که از روش هيبرید، و يك ترکيب دوگاني که برای بدست آوردن مدل هسته مورق آهنی استفاده شد، و تکنيک محاسبه اندوکتانسهای نشتی بدست میآمد [9].
در 1994، Narang and Brierley از دوگانی برای بدست آوردن مدار معادل هسته مورق مغناطيسی استفاده کردند که توسط يک سيم پيچ سه فاز ساختگی (مجازی) با يک ماتريس ادمیتانس که تزويج مغناطيسی صحيح را بين سيم پيچها بوجود می آورد، مرتبط بود [10].
در 1999، Mork طرز بدست آوردن مدل ترانسفورماتور پنچ ستونه با هسته مورق سيم پيچی شده را ارايه کرد، که با دادن نتيجهاي دقيقاً مشابه پديده فرورزنانس، تاييد شد [11].

و گروه دوم :

1-2-3-2 مدلهای هندسی[4]

مدلهاي مطابق با توپولوژی را می توان براساس فرمول زير قرار داد:

(1-5)

که در آن تزويج بين معادلات الکتريکی و مغناطيسی با در نظر گرفتن توپولوژی هسته مورق لحاظ میشود.

خلاصهاي از برخی مدلهای ارائه شده در زير می آید:

مدل مغناطيسی تزويج شده توسط Yacamini and Bronzeado برای شبيه سازی گذراهای هجومی توسعه یافت [12]. چون نفوذ پذيری عناصر فرومغناطيس با چگالی شار تغيير میکند، ماده مغناطيسی به دو بخش تقسيم میشود، که هر يک اساساً دارای چگالی شار يکنواخت است. پيوند بين معادلات مغناطيسی، ، و معادله (1-5) قانون مداری آمپر است.
مدل مداری مغناطيسی اصلاح شده توسط Arrillaga و ديگران ارائه شد [13]. اين مدل برای بدست آوردن ماتريس اندوکتانس از نظریه هسته مورق نرماليزه كردن استفاده میکند. پرمیانسهای نشتی را میتوان از آزمايشهای مدار باز و اتصال کوتاه بدست آورد، طول موثر و سطح مقطع مسيرهای نشتی مورد نياز نيست.
GMTRAN توسطHatziargyriouو ديگران توسعه یافت [14]. معادلات مغناطيسی شامل معادله (1-5) و ماتريس اندوکتانس بود. مهمترين بخش اين مدل بدست آوردن از توپولوژی هسته مورق است.
SEATTLE XFORMER توسطChen در ATP توسعه یافت و تکميل شد [15].در اين مدل شارهای نشی بعنوان متغيرهای حالت انتخاب شدند. که اين، معادله (1-5) با رابطه است. بخش عمده اين مدل بدست آوردن ماتريس است.

مدلهای زياد ديگری برای ترانسفورماتورها در گذراهای فرکانس پايين و متوسط ارائه شده است، [20]- [16]. چون همه آنها بر مبنای يک توصيف رياضی از توپولوژی هسته مورق هستند، آنها را میتوان در گروه دوم مدلهای با مبنای توپولوژی قرار داد.

اين تحقيق از مدلهای فرکانس پايين و فرکانس متوسط ترانسفورماتور برای شبيه سازی اين گذراهای استفاده میکند.

در فصل آينده بصورت مشروح به مدلسازی ترانسفورماتور با اثر اشباع خواهيم پرداخت و ابتدا از مدلسازی ترانسفورماتور ایدهال آغاز خواهیم کرد، سپس معادلات شار نشتی را با توجه به اینکه مدلسازی باید بازتاب رفتار بیرونی المان باشد، شرایط پایانه های ترانسفورماتور را بررسی میکنیم و در ادامه فصل بصورت مشروح و به روشهای مختلف اشباع ترانسفورماتوررا وارد مدل خود خواهیم نمود و در قسمت بعد منحنی اشباع با مقادیر لحظه ای را توضیح میدهیم و به بررسی مقدار خطای حاصل از عدم استفاده از منحنی اشباع با مقادیر لحظه ای خواهيم پرداخت و در نهایت بصورت مشروح شبیه سازی ترانسفورماتور پنج ستونی را در حوزه زمان بررسی میکنیم.

مدلسازی ترانسفورماتور

2- مدلسازی ترانسفورماتور

2-1 مقدمه

استفاده عمده ترانسفورماتورهای الکتريکی برای تغيير اندازه ولتاژ ac، ايجاد جداسازی (ايزولاسيون) الکتريکی، و تطبيق امپدانس بار با منبع است. ترانسفورماتورها از دو يا چند سيم پيچ ساکن تشکيل ميشوند که به صورت مغناطيسی تزويج شدهاند و اغلب ـ و نه اجباراً ـ به منظور حداکثر نمودن تزويج داری هسته مورق با نفوذ پذيری بالايی هستند. معمولاً، سيم پيچ ورودی، سيم پيچ اوليه ناميده میشود و بقيه سيم پيچها که خروجی از آنها کشيده میشود به عنوان سيم پيچهای ثانويه ناميده میشود. ترانسفورماتورهای قدرت که در فرکانسهای پايين، بينHz 25 تا Hz400 کار میکنند، برای متمرکز کردن مسير شار پيوندي سيم پيچها، دارای هسته مورق آهنی هستند. ترانسفورماتورهايی که برای کار در فرکانسهای بالا ساخته ميشوند، هسته مورقهايی از فريت پودری يا هوايی دارند تا از تلفات بيش از حد جلوگيری کنند. تلفات جريان گردابی در هسته مورق آهنی را میتوان با استفاده از ساختار ورقه ای کاهش داد. برای ترانسفورمرهای Hz 60 ورقه های هسته مورق نوعاً در حدود mm 35/0 ضخامت دارد.

2-2 ترانسفورماتور ايده آل

در ابتدا روابط بين ولتاژها و جريانهای اوليه و ثانويه يک ترانسفورماتور ايده آل را در نظر میگيريم که هيچ يک از موارد تلفات مسی سيم پيچ، تلفات هسته مورق، شارهای نشتی، رلوکتانس هسته مورق را ندارد. تزويج مغناطيسی بين سيم پيچهای اوليه و ثانويه چنين ترانسفورماتوری را در نظر ميگيريم شکل(2-1) و شكل (2-2).

جريانهای دو سيم پيچ، نيروی محرکه مغناطيسی (mmf) را ايجاد می کند که شارهايی را به وجود میآورد.

شكل (2-2) ترانسفورماتور ايده ال شكل (2-1) ترانسفورماتور

همانطور که در شکل (2-1) نشان داده شده، جهت اين سيم پيچها طوری است که mmf های آنها در هسته مورق در جهت ساعتگرد است. با صرف نظر از رلوکتانس هسته مورق، mmf منتجه مورد نياز برای مغناطيس کردن هسته مورق صفر است، يعنی:

(2-1)

نقاط در شکل (2-2) نشان دهنده انتهای هر سيم پيچ است که در همان جهت به دور هسته مورق میپيچد. در نتيجه، ولتاژهای القاء شده،e₁ وe₂ ، با پلارتيه مشخص شده، همفاز هستند و نسبت آنها رابطه زير را بين ولتاژهای سيم پيچها میدهد:

(2-2)

با صرفنظر از تمام تلفات، ترانسفورماتور ايده آل، بدون تلف است، به عبارت ديگر توان خالص جاری شده به ترانسفورماتور ايده آل از دو طرف سيم پيچهايش صفر است، يعنی:

(2-3)

شکل (2-2) نماد مداری ترانسفورماتور ايده آل را با روابط ولتاژ و جريان با معادلات (2-1) و (2-2) نشان می دهد.

از آنجا که جريان توان معمولاً به يک سيم پيچ وارد و از ديگری خارج می شود، جهت واقعی جريان خلاف آنچه در شکل (2-3) نشان داده شده است. با فرض جهت مخالف برای i₂ ، mmf های سيم پيچها از هم کم میشود و –i₂بايد به جای i₂ در همه عبارتهای فوق قرار گيرد.

در شبيه سازی و تحليل، متغيرهای مدار و المانهای يک طرف ترانسفورماتور ايدهآل شکل (2-3)، برای تسهيل محاسبات يا به دست آوردن مدار معادل ساده تر، به طرف ديگر آن ارجاع شود.

شكل (2-3) ترانسفورماتور ايده ال بل بار

مثلاً، با استفاده از نماد p برای مشتق زمانی، امپدانس بار، z₂(p) = r₂ +pL₂، در دو طرف سيم پيچ دوم در شكل (2-3) با استفاده از روابط ولتاژ و جريان ترانسفورماتور ايده آل به طرف سيم پيچ اوّل ارجاع داد:

(2-4)

مدل ترانسفورماتور دو سيم پيچه را در اين بخش با در نظر گرفتن مقاومت و شارهای نشتی سيم پيچها، و رلوکتانس هسته مورق، معادلات شارهای نشتی و ولتاژ ترمينال ترانسفورماتور دو سيم پيچه، استخراج میکنيم.

درادامهی اين بخش از اين معادلات برای توسعه مدار معادل ترانسفورماتور استفاده میکنيم.

2-3 معادلات شار نشتی

مطابق شکل (2-4)، وقتی شارهای نشتی را در نظر میگيريم، کل شار پيوندی توسط هر سيم پيچ به دو مولفه تقسيم میشود، يک مولفه متقابل،، که بين هر دو سيم پيچ مشترک است و يک مولفه نشتی که تنها با سيم پيچ خودش پيوند دارد. کل شار پيوندی توسط هر سيم پيچ بر حسب اين مولفه های شار، به صورت زير بيان میشود:

(2-5)

(2-6)

که و مولفه های شار پيوندی سيم پيچهای 1 و 2 هستند.

شكل (2-4) ترانسفورماتور با مولفه های شار پيوندی و نشتي

همانند ترانسفورماتور ايده آل، شار متقابل، ، توسط mmf منتجه دو سيم پيچ در همان مسير هسته مورق ايجاد میشود. با فرض اينکه N₁ دور سيم پيچ 1 به صورت مؤثر و شار نشتی را در بر میگيرد، شار پيوندی سيم پيچ 1، به صورت تعداد دورها ضرب در کل شار پيوندی تعريف میشود:

(2-7)

طرف راست معادله (2-7) را می توان با جايگذاری شارهای نشتی و متقابل با mmf ها و پرميانسهای متناظرشان، بر حسب جريانهای سيم پيچ نوشت. شار نشتی توسط mmf سيم پيچ 1 يعنی، N₁i₁ ، در مسيری با پرميانس مسير مؤثرP_l1 ، ايجاد می شود. با جايگذاری برای شارهای نشتی و متقابل، معادله (2-8) را می توان نوشت:

(2-8)

به طور مشابه، شار نشتی سيم پيچ 2 را می توان به صورت زير بيان نمود:

(2-9)

بيان معادلات شار پيوندی منتجه برای سيم پيچهای با تزويج مغناطيسی بر حسب اندوکتانس های سيم پيچها به صورت زير است:

(2-10)

(2-11)

که L₁₁ و L₂₂ اندوکتانسهای خودی سيم پيچها، L₁₂ و L₂₁ اندوکتانسهای متقابل بين آنها است. اندوکتانس خودی سيم پيچ 1 را می توان مجموع مؤلفه های نشتی، ₁L_L ، و مغناطيس کننده، L_m1 ، جريان خودش در نظر گرفت. بنابراين برای سيم پيچ 1، با i₂=0:

(2-12)

که بخشی از شار متقابل است که توسط ₁i به وجود آمده است. به طور مشابه، برای سيم پيچ 2:

(2-13)

که بخشی از شار متقابل است که توسط i₂ ايجاد شده است. عموماً، اشباع هسته مورق روی مقادير اندوکتانسهای سيم پيچها اثر می گذارد. با به دست آوردن نسبت L_m2 به L_m1 ، رابطه زير را بين اندوکتانسهای مغناطيس کنندهي دو سيم پيچ خواهيم داشت:

(2-14)

مجموع شار متقابل که به وسيله هر سيم پيچ لينک شده، بر حسب اندوکتانسهای مغناطيس کننده سيم پيچ خودشان ضرب در جريان مغناطيس کننده متناظر، قابل بيان است.

مثلاً، کل شار پيوندی با سيم پيچ 1، که بر حسب اندوکتانس مغناطيس کننده خودش بيان می شود، به صورت زير است:

(2-15)

با توجه به رابطه فوق، روشن است که جريان مغناطيس کننده معادل، که در سيم پيچ طرف اوّل نشان داده شد، مجموع جريان سيم پيچ اول و جريان ارجاع شده سيم پيچ دوم است.

2-4 معادلات ولتاژ

ولتاژ القاء شده در هر سيم پيچ برابر با سرعت تغييرات زمانی شار پيوندی سيم پيچها است. بنابراين، با استفاده از معادله (2-10) برای شار پيوندی، ولتاژ القاء شده در سيم پيچ اول به صورت زير است:

(2-16)

با جايگذاری L₁₁ وL₁₂ i₂ به تريب با L_l1+ L_m1 و N₂L_{m 1}i₂/ N₁، ولتاژ القاء شده در سيم پيچ 1 به صورت زير بيان می شود:

(2-17)

چه اين جايگذاری برای راحتی محاسبات باشد يا اصلاً ضروری نباشد، چون اين پارامترها تنها از يک سيم پيچ قابل اندازه گيری هستند، غالباً کميتهای سيم پيچ ديگر به طرفی که اطلاعات آن به صورت مستقيم قابل دسترسی است ارجاع می شود. اين فرآيند ارجاع، معادل ضرب يا تقسيم تعداد دورهای يک سيم پيچ است تا به صورت همان سيم پيچی که متغيرهايش به صورت مستقيم و صريح حفظ میشود، درآيد.

مثلاً، جريان N₁ /₂i₂Nمقدار معادل جريان سيم پيچ 2 است که به سيم پيچ با N₁ دور ارجاع شده است، تا همانند سيم پيچ 1 باشد. با نمايش مقدار ارجاع شده با ، معادله (2-17) به صورت زير تبديل می شود:

(2-18)

به طور مشابه، ولتاژ القاء شده سيم پيچ 2 به صورت زير نوشته می شود:

(2-19)

ولتاژ e₂ را نيز می توان به سيم پيچ 1 ارجاع کرد، يا با استفاده از رابطه (2-2) به يک سيم پيچ فرضی با N₁ دور تغيير مقياس داد.

بنابراين، با ضرب معادله (2-19) درN₁/ N₂، و نمايشN₁e₂ / N₂ با ، و جايگزينی با L_m1 ، معادله (2-19) را به صورت زير می توان نوشت:

(2-20)

ولتاژ ترمينال يک سيم پيچ برابر مجموع ولتاژ القاء شده و افت ولتاژ مقاومتی سيم پيچ است، که برای سيم پيچ 1 به صورت زير است:

(2-21)

به جای نوشتن رابطه مشابهی برای ولتاژ ترمينال سيم پيچ 2، آن را بر حسب کميتهای ارجاع شده به سيم پيچ طرف اول مینويسيم:

(2-22)

معادلات (2-21) و (2-22) با جريان و ولتاژ ارجاع شده سيم پيچ 2 به طرف اول نوشته شده است. اين معادلات ولتاژ را با جريان و ولتاژ ارجاع شده سيم پيچ 2، را می توان به سادگی با تعويض زير نويسهای 1 و 2 برای همه متغيرها و پارامترها در معادلات (2-21) و (2-22) بدست آورد.

2-5 ارائه مدار معادل

شکل معادلات ولتاژ در (2-21) و (2-22) با L_m1 مشترک، مدار معادل T را برای ترانسفورماتور دو سيم پيچه پيشنهاد می کند که در شکل 3 ـ 4 نشان داده شده است.

شكل (2-5) مدرا معادل ترانسفورماتور

در شکل (2-5)، پريم ها، مقادير سيم پيچ 2 که به سيم پيچ 1 ارجاع شده است را نشان میدهد. مثلاً، جريان معادل جاری شده در سيم پيچ با همان تعداد دورهای سيم پيچ 1 است. (معادل با اين مفهوم که اين جريان، همان mmf، N₂ i₂ ، را در مدار مغناطيسی مشترک با سيم پيچ 1 ايجاد میکند، که). اين مطلب با توجه به مدار معادل ترانسفورماتور ايده آل واضح است. به طور مشابه، ولتاژ ارجاع شده، ، در رابطه ترانسفورماتور ايده آل صدق میکند. در يک ترانسفورماتور واقعی، بر خلاف ترانسفورماتور ايده آل، پرميانس هسته مورق يا اندوکتانس متقابل، محدود است.

برای ايجاد شار متقابل، جريان مغناطيس کننده محدودی، ، در اندوکتانس مغناطيس کننده معادل در طرف سيم پيچ اوليه، L_m1، جاری میشود.

مقادير پارامترهای مدار سيم پيچ 2 که به سيم پيچ 1 ارجاع می شود، توسط رابطه (2-4)، به صورت زير معين می شود:

(2-23)

(2-24)

اگر بخواهيم تلفات تقريبی هسته مورق را به صورت تلفاتی متناسب يا مجذور (مربع) چگالی شار هسته مورق، يا مجذور ولتاژ داخلی e_m، که در شکل (2-5) نشان داده شد، در نظر بگيريم، می توانيم يک مقاومت تلفات هسته مورق مناسب را دو سر ، به صورت موازی با اندوکتانس مغناطيس کننده، L_m1، متصل کنيم. مدار معادل نهايی، همان مدار معادل استاندار خواهد بود [26].

2-6 مدلسازی ترانسفورماتور دو سيم پيچه

در اين بخش، روشی بيان ميشود که معادلات ولتاژ و شار پيوندی يک ترانسفورماتور دو سيم پيچه به وسيله شبيه سازی کامپيوتری قابل پياده سازی باشد.

برای انجام شبيه سازی ترانسفورماتور، حتی هنگامی که از مدل رياضی يکسانی استفاده می کنيم بيش از يک راه وجود دارد. مثلاً، هنگامی که از مدل ساده بخش قبلی استفاده کنيم، شبيه سازی را با استفاده از متغيرهای حالت شار يا جريان انجام ميدهيم.

مدار معادل ارائه شده در شکل (2-5)، يک کات ست از سه القاگر دارد، چون جريان اين القاگرها در قانون جريان کيرشهف در گره مشترک صدق میکند، همه سه جريان القاگر نمی تواند مستقل باشد. جريان شاخه مغناطيس کننده، همان طور که نشان داده شد، میتواند بر حسب جريانهای سيم پيچها، و ، بيان شود.

اگر شار پيوندی کل دو سيم پيچ را به عنوان متغيرهای حالت انتخاب کنيم معادلات ولتاژ بر حسب اين دو متغير حالت، به صورت زير نوشته می شود:

(2-25)

(2-26)

که و ، و فرکانس مبنايی است که راکتانسها در آن فرکانس محاسبه می شود. شار پيوندی سيم پيچها بر ثانيه به شکل زير است:

(2-27)

(2-28)

(2-29)

توجه کنيد که مربوط به اندوکتانس مغناطيس کننده ارجاع شده به سيم پيچ 1 است.

جريان را با استفاده از معادله (2-27)، می توان بر حسب و نوشت. به طور مشابه، با استفاده از معادله (2-28)، بر حسب و نوشته می شود:

(2-30)

(2-31)

با جايگذاری عبارتهای فوق برای و در معادله (2-29)، خواهيم داشت:

(2-32)

با فاکتورگيری از ، رابطه مورد نظر برای را بر حسب دو متغير حالت خواهيم داشت:

(2-33)

كه:

(2-34)

با استفاده از معادلهي (2-34)،معادلهي (2-33)، به صورت فشردهي زير خواهد بود:

(2-35)

با استفاده از معادلات (2-30) و (2-31) برای جايگزينی جريانها، معادلات (2-25) و (2-26) را می توان به صورت معادلات انتگرالی بر حسب دو شار پيوندی کل به دست آورد:

(2-36)

(2-37)

در مجموع، معادلات (2-30)، (2-31)، (2-35)، (2-36) و (2-37) يک مدل ديناميکی پايه از ترانسفورماتور دو سيم پيچه ايجاد میکند که در صورت لزوم غير خطی بودن مغناطيسی و تلفات آهن را میتوان اضافه نمود.

در اين مدل، شارهای پيوندی متغيرهای داخلی هستند، ولتاژهای ترمينال، ورودیهای مورد نياز، و جريانهای سيم پيچها خروجيهای اصلی هستند.

شکل (2-6) دياگرام شبيه سازی يک ترانسفورماتور دو سيم پيچه را نشان میدهد که مقادير لحظهای ولتاژهای ترمينال هر دو سيم پيچ را برای شبيه سازی به عنوان ورودی نياز دارد.

شکل (2-6) نشان می دهد که متغيرهای داخلی و و نيز به طور مستقيم از اين شبيه سازی قابل دسترسی هستند.

شكل (2-6) دياگرام شبيه سازی يک ترانسفورماتور دو سيم پيچه

2-7 شرايط پايانه ها (ترمينالها)

همان طور که در شکل (2-6) نشان داده شد، شبيه سازی ترانسفورماتور دو سيم پيچه از ولتاژهای ترمينال هر دو سيم پيچ به عنوان ورودی استفاده میکند و جريانهای سيم پيچها را به عنوان خروجی توليد میکند.

اگر ورودیـخروجيهای لازم برای تمام زير سيستمها در شبيه سازی به طور صحيح منطبق با زير سيستمهای متصل شده - شامل وروديها و خروجيهای کل سيستم- باشد لازم نيست مجموعه ورودیـخروجی يک سيستم زير مجموعه، مطابق سيستم فيزيکیاش باشد. مثلاً، اگر يک بار به ثانويه سيم پيچ ترانسفورماتور متصل شده باشد و طبيعت آن به گونهای باشد که معادله توصيف کننده آن، با استفاده از جريان بار به عنوان ورودی و ولتاژ بار به عنوان خروجیاش، در شبيه سازی قابل پياده سازی باشد، میتوان گفت که نيازهای ورودیـخروجی عنصر بار، منطبق با ورودیـخروجيهای ترمينال ثانويه ترانسفورماتور دو سيم پيچهاي است که پيش از اين شبيه سازی شد. در پياده سازی معادلات و حل آنها، بايد از معادلاتی که داراي عبارتهاي مشتقي يا حلقه های جبری هستند، دوری کرد.

با آنکه براي عبارتهاي مشتقی، نحوه ايجاد مشکل هنگام حل معادلات واضح است، ولی وجود حلقه جبری اينچنين نيست. حلقه های جبری هنگامی رخ می دهند که بخواهيم معادلات جبری را به صورت همزمان پياده سازی کنيم، مواردی که يک مسير مستقيم[5] از وروديهای يک بلوک از طريق يک حلقه که دارای يک انتگرالگير نمیباشد، به بلوک ديگر، متصل شود.

مساله تعيين در شبيه سازی بار است. تکنيکهايی که ارائه می شود نه تنها برای سازگاري شبيه سازی ترانسفورماتور با ديگر اجزای شبکه مفيد است، بلکه اين تکنيکها برای وسايل الکترومغناطيسی ديگر نيز قابل کاربرد هستند.

ولتاژ ورودی به سيم پيچ اوليه، ، يک ولتاژ معلوم ac است يا از شبيه سازی عناصر ديگری که به سيم پيچ اوليه متصل شده است، بدست میآيد.

شبيه سازی حالت مدار باز در ترمينال ثانويه ، سر راست نيست. در حالت مدار باز در ترمينال ثانويه که با قرار دادن در معادلات (2-26)و (2-28) به میرسيم.

برای اجتناب از شکل مشتق زمانی در شبيه سازی، اين مقدار ولتاژ ورودی ثانويه را میتوان از مقدار درست پيش از انتگرالگيری، به دست آورد.

روابط مورد استفاده بين و ، معادلات (2-26) و(2-28) و(2-29) با شرط است:

(2-38)

در مورد بارگذاری محدود ترمينال ثانويه، راحت تر است که بار به صورت امپدانس يا ادميتانس معادل بيان شود. مثلاً، براي بار گذاری S_L در ولتاژ نامیv_2rated را می توان به يک ادميتانس بار معادل که به طرف اوليه ارجاع شده، تبديل کرد:

(2-39)

کنداکتانس[6] و سوسپتانس[7] معادله (2-39) را میتوان با يکی از دو مدار معادل ارائه شده در شکل (2-7)، مدل کرد. معادلات اين بارهای معادل با مدار موازی را به فرم انتگرالی میتوان بيان کرد، که ولتاژ به عنوان خروجی و جريان به عنوان ورودی است تا ترمينال سيم پيچ ثانويه تکميل گردد.

برای بارهای با ضريب توان پس فاز، ترکيب RL موازی از شکل (2-7) استفاده میشود.

شكل (2-7) ترکيب RL موازی

- خروجی شبيه سازی بار كه در شبيه سازی ترانسفورماتور مورد نياز است- از رابطه v بر حسب i برای عنصر مقاومتی به دست می آيد، که عبارت است از:

(2-40)

که جريان خروجی شبيه سازی سيم پيچ 2 ترانسفورماتور است و با انتگرال گيری ولتاژ دو سر اندوکتانس بار معادل، ، به دست می آيد:

(2-41)

ترکيب RC موازی شکل (2-8) برای بارهای با ضريب توان پيشفاز استفاده می شود، كه - خروجی مورد نياز-، از شبيه سازی بار RC به وسيله رابطه v بر حسب i خازن به دست میآيد، که عبارت است از:

(2-42)

شکل (2-8) ترکيب RC موازی

هنگامی که دو يا چند عنصر به يک نقطه متصل می شود، ولتاژ اتصال مشترک بايد تنها به وسيله يکی از عناصر تعيين شود.

برخی اوقات بدليل طبيعت عناصر متصل به هم، چنين تطبيقی از ورودی / خروجی مورد نياز در تمام اتصالات، حاصل نميشود. اين حالت در شبيه سازی يک سيستم پيچيده که با استفاده از عناصر يا الگوهای استاندارد ساخته شده، غير طبيعی نيست. در اين حالت، کمی خطا به واسطه ايجاد يک خازن بسيار کوچک يا يک مقاومت بسيار بزرگ در يک اتصال به وجود می آيد تا بتوان ولتاژ اتصال مشترک عناصری با ورودی ولتاژ و خروجی جريان را بدست آورد.

با آنکه انتخاب يک خازن بی نهايت کوچک يا يک مقاومت بی نهايت بزرگ، عدم دقت به وجود آمده از وجود چنين عناصری را ـ که از لحاظ فيزيکی وجود ندارند را می نيمم میکند، ولی يک مقدار خيلی بزرگ در معادلات ديفرانسيل سيستم، منجر به عدم انعطاف بيش از حد برای روش حل مورد استفاده میشود.

در عمل، کوچکترين خازن و بزرگترين مقاومتی که میتوان برای چنين تقريبی استفاده کرد با ناپايداريهای عددی محدود میشود.

هر چند استفاده از يک خازن، يک متغير حالت اضافه ايجاد میکند، در عوض ولتاژ آن نويزهای موجود در جريانها را مثل مقاومت تقويت نمیکند. در برخی شرايط، خازن تقريب قابل قبولتری را نسبت به مقاومت با سرعت شبيه سازی قابل قبول میدهد.

2-8 وارد کردن اشباع هسته مورق به شبيه سازی

اشباع هسته مورق به طور عمدهای مقدار اندوکتانس متقابل را متأثر میکند ولي براي اندوکتانسهای نشتی اثر کمتري دارد.

اثرات اشباع روی اندوکتانسهای نشتی نسبتاً پيچيده است و نياز به جزئيات ساختار ترانسفورماتور دارد که معمولاً موجود نيست ـ هر چند اثر اشباع کم است ـ. در بسياری از شبيه سازيهای ديناميکی، فرض میشود که اثر اشباع هسته مورق به مسير شار متقابل محدود میشود. رفتار اشباع هسته مورق را میتوان تنها از منحنی مغناطيس کنندگی مدار باز ترانسفورماتور تعيين کرد.

همانطور که در شکل (2-9) نشان داده شده، منحنی مدار باز، معمولاً از رسم نمودار مقدار rms ولتاژ ترمينال در برابر جريان بی باری کشيده شده از سيم پيچ 1 در حالی که ترمينال ثانويه مدار باز است، به دست میآيد.

با صرف نظر از تلفات هسته مورق، جريان بی باری تنها شامل جريان مغناطيس کننده،، است. به علاوه، با جريان بی باری در سيم پيچ 1، ولتاژ دو سر امپرانس سری، ، معمولاًدر مقايسه با ولتاژ دو سر راکتانس بزرگ مغناطيس کننده، ، قابل صرف نظر است. چون ثانويه مدار باز است، صفر است، بنابراين. در ناحيه اشباع نشده، نسبت ثابت است، ولی وقتی سطح ولتاژ بيشتر از زانوی منحنی مدار باز افزايش يابد، اين نسبت کوچک و کوچکتر میشود.

2-8-1 روشهاي وارد کردن اثرات اشباع هسته مورق

برخی از روشهايی که برای وارد کردن اثرات اشباع هسته مورق در شبيه سازی ديناميکی استفاده شده است عبارتند از:

(i) استفاده از مقدار مناسب راکتانس متقابل در حالت اشباع شده در هر پله زمانی از شبيهسازی.

(ii) تقريب زدن جريان مغناطيس کننده توسط برخی توابع تحليلی- جريان مغناطيس کننده بر حسب شار پيوندی اشباع شده-.

(iii) استفاده از رابطه بين مقادير اشباع شده و اشباع نشده شار پيوندی متقابل.

در روش (i)، مقدار اشباع شده اندوکتانس مغناطيس کننده، ، در شبيه سازی با استفاده از ضرب مقدار اشباع نشده اندوکتانس مغناطيس کننده، ، در يک فاکتور اشباع، k_s، به روز –جديد- میشود، که هر دو اين پارامترها از اطلاعات آزمايش مدار باز بدست میآيد.

معمولاً راحت تر است که در معاله (2-35) به جاي راکتانس مغناطيس کننده متغير، يک راکتانس ثابت را به کار برند و اثر اشباع هسته مورق را نيز لحاظ کنند. معمولاً در چنين شبيه سازی، مقدار هر لحظه از مقدار اشباع نشده شار متقابل،، که با استفاده از مقدار محاسبه شده است، به دست می آيد.

اگر اختلاف بين مقادير اشباع نشده و اشباع شده را با نشان دهيم:

(2-43)

مقدار در ربع اول مثبت است ولی در ربع سوم منفی است. رابطه بين و يا را می توان از منحنی مغناطيس کنندگی مدار باز ترانسفورماتور بدست آورد. همان طور که در شکل (2-9) نشان داده شده، برای جريان بیباری دلخواه i₁، می توانيم مقادير و را تعيين کنيم. با تکرار اين روش در محدودهي مورد نظر برای ، می توانيم تعداد زوجهای عددی کافی از مقادير و برای رسم منحنی شکل (2-9) بدست آوريم.

شكل (2-10) رابطه بين و شكل (2-9) منحنی مغناطيس کنندگی مدار باز ترانسفورماتور

در روش (ii) رابطه بين مقدار پيک شار پيوندی و جريان مغناطيس کننده بايد به دست آيد. چون معمولاً تست مدار باز با اعمال يک ولتاژ ورودی سينوسی انجام میشود، با صرف نظر كردن از افت ولتاژ سری، شار هسته مورق نيز به صورت سينوسی متغير با زمان فرض میشود. ولی جريان مغناطيس کننده برای تحريک يک شار سينوسی در ناحيه اشباع، سينوسی نخواهد بود.

تبديل مقادير rms اندازه گيری شده ولتاژ اعمال شده و جريان مغناطيس کننده به مقادير لحظهای، هنگامی که جريان مغناطيس کننده غير سينوسی است، آسان نيست.

يک روش در [30] برای استخراج مقادير لحظهای منحنی اشباع از داده های اندازه گيری شده آزمايش مدار باز ارائه شده است.

روش (iii) از رابطه بين مقادير اشباع شده و اشباع نشده شار پيوندی استفاده میکند. بر خلاف روش (ii)، اين روش به رابطه صريحی بين شار پيوندی و جريان مغناطيس کننده احتياج ندارد.

هنگامی که شارهای پيوندی به عنوان متغيرهای حالت انتخاب میشود، روش (iii) پيشنهاد میشود.

مقادير جريان های اشباع شده و اشباع نشده سيم پيچها و شار پيوندی کل بصورت زير بيان میشوند:

(2-44)

به طور مشابه، مقدار اشباع شده جريانهای سيم پيچها بر حسب شارهای پيوندی اشباع شده را می توان به صورت زير بيان کرد:

(2-45)

(2-46)

با جايگذاری و از عبارتهای فوق در معادله (2-44)، خواهيم داشت:

(2-47)

مقادير و در معادلات (2-46) و (2-47) مقادير اشباع شده هستند. با جايگزينی با و به دست آوردن خواهيم داشت:

(2-48)

که مقدار x_M مشابه معادله (2-34) برای حالت اشباع نشده است:

(2-49)

مقايسه عبارتهای فوق برای حالت اشباع در کنار عبارتهای متناظر برای حالت اشباع نشده يا خطی نشان می دهد که برای در نظر گرفتن اشباع در شار متقابل، لازم است بتوانيم سمت راست معادله (2-48) را به دست آوريم. اين کار با داشتن تابعی بين و قابل انجام است.

در شکل (2-11) اشباع شار متقابل را در نظر گرفتهايم.

شكل (2-11) دياگرام شبيه سازی يک ترانسفورماتور دو سيم پيچه با اثر اشباع

2-8-2 شبيه سازي رابطه بين و

در Simulink، در کتابخانه بلوکهای غير خطی عنصر look–up Table وجود دارد، كه ميتواند جدولی که را به ربط میدهد، را پياده سازی كند. رابطه ورودیـخروجی عنصر جدول جستجو به وسيله متغيرهای آرايه ای ورودی و خروجی با طول يکسان تعريف میشود.

شكل (2-12) رابطه بين و

شكل (2-13) رابطه بين و

رابطه بين و را به روشهاي ديگري نيز ميتوان شبيه سازي نمود كه در شکل (2-12) و شكل (2-13) نشان داده شده است.

برخی از تقريبهای انجام شده در [27] شامل، خطی، سريهای توانی، نمايی، و توابع هذلولی هستند.

انتخاب شکل تابع بستگی به کاربرد و محدوده تغييرات که تقريب معتبر است، دارد. در برخی موارد، شيب موضعی مغناطيس کنندگی ، برای برخی ديگر تطبيق در يک محدوده بزرگ مهم است.

شکلهاي (2-12)و (2-13) دو نمونه از تقريبهای سه تکه ای منحنی بر حسب را در ربع اوّل نشان می دهد. توصيف رياضی اين سه بخش در شکل (2-12) به اين صورت است:

ناحيه خطی:

در بخش اشباع نشده از منحنی بر حسب :

(2-50)

ناحيه زانو:

ناحيه زانوا به شدت غير خطی است. اين ناحيه را می توان به خوبی با يک تابع نمايی مناسب به شکل زير تخمين زد:

(2-51)

که مقدار a برابر ناپيوستگی پله ای کوچک در است و ثابت b با محاسبه مقدار در نقطه ، تعيين می شود که برابر است با:

(2-52)

ناحيه اشباع کامل:

در ناحيه اشباع کامل، منحنی بر حسب تقريباً خطی است. بنابراين برای ،

(2-53)

تقريب خطی تکه تکه ای شکل (2-13) را میتوان به صورت زير بيان کرد:

(2-54)

شيبها و نقاط شکست بخش دوم و بخش غير خطی سوم به ترتيب شيب 1 و B₁، و شيب 2 و ₂B است. چون متغير است، اشباع منفی بايد با تقريب مشابه بر حسب در ربع سوم مورد انجام شود. برای منفی شيب تقريب خطی ثابت می ماند، بنابراين مقادير A ثابت می ماند، اما علامت مقادير نقاط شکست، B، با تغيير می کند.

2-9 منحنی اشباع با مقادير لحظهای

منحنی مغناطيس کنندگی مدار باز را میتوان از آزمايش مدار باز به دست آورد. با ، ولتاژ سينوسی اعمال شده، V₁، به ترمينالهای سيم پيچ 1 به تدريج از مقدار صفر تا کمی بيش از مقدار نامی افزايش میيابد.

معمولاً، مقدار rms اندازه گيری شده ولتاژ خروجی سيم پيچ 2 و مقدار rms جريان تحريک، که بر حسب است، رسم می شود.

2-9-1 استخراج منحنی مغناطيس کنندگی مدار باز با مقادير لحظهای

از آنجا که تمامی متغيرهای مدل شبيه سازی به سيم پيچ اوليه ارجاع شدهاند و به جای مقادير rms، لحظهای هستند، بايد مقادير لحظهاي ارجاع شده به سيم پيچ اوليه براي يافتن ، بدست آيد.

ولتاژ rms اندازه گيری شده مدار باز ثانويه را می توان به راحتی به نسبت دورها به اوليه ارجاع داد:

(2-55)

رابطه بين مقدار پيک شار پيوندی سيم پيچ اوليه و مقدار پيک جريان مغناطيس کننده اش را میتوان با روشی که در [34 و 35] آمده به دست آورد.

مقادير rms را با حروف بزرگ و مقادير لحظهای را با حروف کوچک نشان ميدهيم و مطابق شکل (2-14) نقاط N و ... و 0 را روی منحنی rms مدار باز علامت میزنيم.

نقطه 0 در مبدأ و نقطه 1 در پايان بخش خطی منحنی مغناطيس کنندگی است. نقاط ديگر را میتوان در بخش اشباع منحنی به صورت مناسب توزيع کرد. شکل (2-16) نقاط متناظر منحنی لحظه ای بر حسب را نشان می دهد.

متناظر با هر نقطه روی منحنی rms مدار باز، هنگامی که يک ولتاژ سينوسی با پيک برابر ولتاژ rms اعمال میشود، جريان rms مدار باز کشيده شده از ترانسفورماتور را مانند شکل (2-15) برای Kامين نقطه در نظر ميگيريم.

برای يک ولتاژ ورودی سينوسی با فرکانس ، شار پيوندی متناظر سينوسی خواهد بود و مقدار پيک آن:

(2-56)

شكل (2-15) شار پيوندی متناظر شكل (2-14) سينوسی شكل (2-14) منحنی مدار باز با مقادير rms

بنابراين مقادير در شکل (2-15) را با رابطه فوق می توان تعيين کرد. به جز مقدار اوليه ، مقدار پيک جريانهای متناظر، است، هر چند هنوز در اين مرحله معلوم نيستند.

اين نقاط بايد به صورت عبارتی از مقدار rms جريان لحظهای در شکل (2-16) به مقدار rms برای نقطه متناظر شکل (2-15) بيان گردد، که به روش زير بدست ميآيد.

اگر تعداد نقاط مورد استفاده به اندازه کافی زياد باشد و توزيع آنها صحيح باشد، مقدار rms جريان لحظه ای متناظر با يک تحريک ولتاژ سينوسی را همان طور که در شکل (2-16) نشان داده شده است، میتوان با دقت منطقی قابل قبول، با استفاده از نمايش تحليلی يک تابع تکه تکه خطی ساده، بين نقاط مجاور تعيين کرد.

شکل (2-16) جريان لحظه ای متناظر با تحريک ولتاژ سينوسی

K_j را شيب خطی قرار می دهيم که نقاط 1ـj و j را به هم وصل میکند:

(2-57)

مقدار i_k را می توان به صورت زير بيان کرد:

(2-58)

مقادير ها را برای با بيان عبارت مقدار rms جريان لحظهای بر حسب مقدار rms اندازه گيری شده متناظر برای يک ولتاژ سينوسی ورودی، تعيين میکنيم.

با شروع از 1=j، پيک موج شار پيوندی متناظر با نقطه 1 در منحنی مدار باز شکل (2-16) برابر است با .

در اولين قسمت، عبارت متناظر با جريان لحظهای، برای تحريک فوق، خطي و به صورت زير خواهد بود:

(2-59)

با فرض ولتاژ تحريک سينوسی، موج شار پيوندی نيز سينوسی خواهد بود.

با صرف نظر از هيسترزيس، جريان مغناطيس کننده برای يک ولتاژ ورودی سينوسی اعمال شده در ربع سوم، متقارن است، بنابراين لازم است تنها يک ربع موج تحريک را در هنگام محاسبه مقدار rms در نظر بگيريم.

مثلاً، برای Kامين نقطه، تنها لازم است مقدار rms جريان ناحيه هاشور خورده ناشی از ولتاژ اعمال شده را در شکل (2-16) بدست آوريم. برای 1 = k ، مربع جريان rmsi با پيک i₁ را از منحنی شکل (2-16) بدست می آوريم:

(2-60)

(2-61)

به طور مشابه، برای نقطه 2 در شکل (2-14)، از يک موج شار تحريک با مقدار پيک استفاده می کنيم. با محاسبه مربع جريان rms اندازه گيری شده متناظر:

(2-62)

که است.

2-9-2 بدست آوردن ضرايب معادله انتگرالي

با استفاده از ، می توان معادله (2-62) را به صورت معادله درجه دوم بر حسب k₂ مرتب کرد:

(2-63)

که:

(2-64)

(2-65)

(2-66)

که فقط مقدار مثبت k₂ قابل قبول است:

(2-67)

به طور مشابه، می توان نشان داد که بخش خطی با شيب، k_k، در رابطه شبيه به معادله (2-64) صدق می کند:

(2-68)

(2-69)

(2-70)

(2-71)

(2-72)

(2-73)

با شروع از نقطه مبدأ، يعنی 0 = k، که و و است، مقادير k_k برای به ترتيب با استفاده از معادلات (2-68) تا (2-73) بدست می آيند.

2-10 خطاي استفاده از منحني مدار باز با مقادير rms

استفاده از منحني مدار باز با مقادير rms در شبيه سازي مدل ترانسفورماتور داراي خطا خواهد بود زيرا فرمول بندي شبيه سازي مدل ترانسفورماتور بر اساس مقادير لحظهاي است.

شكلهاي (2-17)و (2-18) منحنيهاي مغناطيس كنندگي را با مقادير لحظهاي وrms نشان ميدهد

شكل (2-18) منحني مدار باز با مقادير rms شكل (2-17) منحني مدار باز با مقادير لحظهاي

ميزان خطاي بوجود آمده در استفاده از مقادير rms نسبت به استفاده از مقادير لحظهاي بدست آمده از همين مقادير rms در زير مقايسه شده است.

ملاحظه ميشود كه با افزايش ولتاژ تا مقدار نامي، ميزان خطاي استفاده از منحني rms به حداكثر خود ميرسد، كه ميتواند در دقت شبيه سازي اثر بگذارد و آن را كاهش دهد.

شكل (2-20) ميزان خطاي استفاده از منحني لحظهاي شكل (2-19) ميزان خطاي استفاده از منحني rms

2-11 شبيه سازي ترانسفورماتور پنج ستوني در حوزه زمان

همانطور كه بيان شد، مدلسازي ترانسفورماتور با استفاده و تركيب همزمان مدارهاي مغناطيسي و الكتريكي نتايج مطلوبي را داشته است و شكل موجهاي شار، جريان و ولتاژ را بخوبي نشان داده است. هر چه اطلاعاتي كه براي مدلسازي به اين روش استفاده ميشود دقيقتر بدست آمده باشد و نيز مشروحتر باشد نتايج مطلوبتري بدست ميآيد.

اين نوع مدلسازي در گروه دوم مدلهاي ترانس قرار ميگيرد كه توپولوژي ترانسفورماتور و نحوه اتصالات ترانسفورماتور را ميتواند در نظر بگيرد و داراي دقت بسيار خوبي در شبيه سازي نتايج عملكرد ترانسفورماتور است.

در اين روش، معادلات ديفرانسيل حاكم بر ترانسفورماتور با توجه به پيكربندي آن بدست ميآيد و نوبت به حل همزمان اين معادلات ديفرانسيل ميرسد.

از روشهاي حلي كه داراي مقبوليت خوبي است و داراي انعطافپذيري مناسبي است، روش حل در حوزه زمان است. از مزاياي اين روش اين است كه هر گونه پيچيدگيهاي غير خطي بودن پارامترها را با هر نوع وابستگي، ميتوان بدون ايجاد پيچيدگيهاي زياد حل غير خطي عددي، در نظر گرفت

براي حل معالات ديفرانسيل در حوزه زمان نيز روشهاي مختلفي وجود دارد كه موارد استفاده روشهاي پيچيده تر، هنگامي است كه روشهاي بسيط تر به همگرايي مناسب نرسد يا واگرا شود يا دقت خاصي مورد نظر حل كننده مساله باشد.

ابتدا از معادلات مغناطيسي حاكم بر ترانسفورماتور سه ستونه شروع ميكنيم.

با توجه به شكل (2-21) معادلات مغناطيسي ترانسفورماتورسه فاز سه ستونه را مينويسيم:

شكل (2-21) مدار معادل مغناطيسي ترانسفورماتور سه فاز سه ستونه

(2-74)
(2-75)
(2-76)
(2-77)
(2-78)
(2-79)
(2-80)
(2-81)

معادلات الكتريكي را نيز با توجه به مدار زير مينويسيم:

شكل (2-22) مدار معادل الكتريكي ترانسفورماتور سه فاز سه ستونه

(2-82)
(2-83)
(2-84)
(2-85)
(2-86)
(2-87)
(2-88)
(2-89)

بطور مشابه براي ترانسفورماتور سه فاز پنج ستونه با اتصال ستاره-مثلث در شرايط بارداري، معادلات مغناطيسي را ميتوان بصورت زير نوشت. در اين معادلات از شار توالي صفر كه مسير خود را از فاصله هوايي ميبندد صرفنظر شده، زيرا در ترانسفورماتور سه فاز پنج ستونه، دو ستون كناري ميتواند مسيري براي عبور شار توالي صفر باشد كه رلوكتانس خيلي كمتري نسبت به مسير هوايي دارد با اين حال اضافه كردن معادلات اين مسيرها كار دشواري نيست و در صورتيكه ساير پارامترهاي مدلسازي با دقت خيلي خوبي بدست آمده باشد ميتواند دقت شبيه سازي را بالا ببرد:

شكل (2-23) مدار معادل مغناطيسي ترانسفورماتور سه فاز پنج ستونه

شكل (2-24) ترانسفورماتور پنج ستونه

(2-90)

(2-91)

(2-92)

(2-93)

(2-94)

(2-95)

(2-96)

معادلات الكتريكي را نيز بصورت مشابه مينويسيم:

(2-97)
(2-98)
(2-99)
(2-100)
(2-101)
(2-102)
(2-103)
(2-104)
(2-105)
(2-106)
(2-107)
(2-108)
(2-109)
(2-110)
(2-111)
(2-112)

2-11-1 حل عددي معادلات ديفرانسيل

دسترسي آسان به كامپيوترهاي قدرتمند موجب شده است تا استفاده از روشهاي حل عددي در مسايلي كه براحتي از طريق تحليلي قابل حل نيستند، عموميت يابد.

انتخاب مدل رياضي و روش حل عددي، اغلب وابسته به ساده سازيهايي است كه عمداً و براي تطبيق روش حل خاصي انجام ميشود. در كنار رفتار روش حل و طبيعت مدل، فاكتورهاي مهم انتخاب يك روش عددي عبارتند از :

دقت خوب روش حل
سرعت مناسب
پايداري روش حل وقابليت اعتماد به نتايج

معمولاً براي بدست آوردن دقت عددي مناسب و پايداري در حل، مجبور ميشويم از استپهاي زماني استفاده كنيم كه از كوچكترين ثابت زماني مقادير ويژه غالب در هراستپ زماني، چندين برابر كوچكتر باشد. با ميرا شدن گذراهاي سريع، انتخاب استپ زماني بزرگتر با ملاحظات پايداري محدود ميشود.

اكنون چند روش در حل عددي را بررسي ميكنيم.

2-11-1-1 روش EULER

با روش اولر شروع ميكنيم.

مساله زير را در نظر ميگيريم:

(2-113)

فرض ميكنيم مقدار اوليه در برابر است كه بصورت خلاصه مينويسيم.

در روش حل عددي، با شروع از مقدار اوليه، مقادير ، ،...در زمانهاي ، ،....تا پايان، بدست ميآيد.

با انتگرالگيري از معادله فوق:

(2-114)

ساده ترين روش يك مرحله اي، روش اولر است.

همانطور كه در شكل (2-25) بصورت هندسي نشان داده شده است، مقدار تقريبي در با رابطه زير داده ميشود:

(2-115)

كه .

شكل (2-25) انتگرالگيري در يك استپ زماني به روش اولر

با توجه به بسط سري زير، خطاي ايجاد شده در اين استپ زماني از مرتبه است.

(2-116)

2-11-1-2 روش ADAMS

فرمولهاي انتگرالگيري روش Adams-Bashforth با جايگذاري در معادله (2-114) بدست ميآيد.

با يك چند جمله اي كه از تعداد معيني از نقاط قبليٍ شامل نقطه ميگذرد، جايگذاري ميشود. مثلاً فرمول m مرحله اي Adams-Bashforth را ميتوان با استفاده از فرمول ديفرنس پسروندهي نيوتن مرتبهي m-1، مشتق را در معادله (2-114) تقريب بزنيم:

(2-117)

با جايگذاري و ، عبارت انتگرالي بصورت زير خواهد بود:

(2-118)

مقدار انتگرال براي k=0,1,2,…..,m-1 براحتي محاسبه ميشود. مثلاً براي k=3 :

(2-119)

با جايگذاري عبارت فوق در انتگرال، مقادير چند ضريب اول معادله (2-118) بصورت زير محاسبه ميگردد:

(2-120)

فرمول m مرحله اي Adams-Bashforth بر حسب- مقادير ديفرنس پس رونده، با صرفنظر از مقادير باقيمانده – m به بعد – بصورت زير است:

(2-121)

با بسط رابطه فوق، به فرمول Adams-Moulton ميرسيم:

(2-122)

فرمول Adams-Moulton از مرتبه m را بصورت زير نيز ميتوانيم تبديل كنيم: