مرکز دانلود خلاصه کتاب و جزوات دانشگاهی

دینامیک حرکت

(MOtion Dynamics)

دینامیکاز واژه لاتین به معنی حرکت شناسی گرفته شده است. و در مکانیک کلاسیکبررسی دلایل حرکت و به بیانی دقیق بررسی حرکت به کمک نیروها و قوانینمربویه می‌باشد

دید کلی

در حالت کلیحرکتیک ذره از دو دیدگاه مختلف می‌تواند مورد بررسی قرار گیرد به بیان دیگر می‌توان گفت، بطور کلیمکانیک کلاسیک که در آن حرکت اجسام مورد تجزیه و تحلیل قرار می‌گیرد، شامل دو قسمتسینماتیک و دینامیک است . در بخش سینماتیک از علت حرکت بخشی به میان نمی‌آید و حرکتبدون توجه به عامل ایجاد کننده آن بررسی می‌شود. بنابراین در سینماتیکحرکت بحث بیشتر جنبه هندسی دارد.
اما در دینامیک علتهای حرکت موردتوجه قرار می‌گیرند. یعنی هر ذره یا جسم همواره در ارتباط با محیط اطرافخود و متاثر از آنها فرض می‌شود محیط اطراف حرکت را تحت تأثیر قرارمی‌دهد. به عنوان مثال فرض کنید، جسمی باجرممعین بر روی یک سطح افقی در حال لغزش است. در این مثال سطح افقی به عنوان یکی از محیطهای اطراف جسم با اعمالنیروی اصطکاکدر مقابل حرکت جسم مقاومت می‌کند.

عوامل مؤثر بر حرکت

حرکت یک ذره معین را ماهیت و آرایش اجسام دیگری که محیط ذره را تشکیل می‌دهند، مشخص می‌کند. تأثیر محیط اطراف بر حرکت ذره بااعمال نیرو صورت می‌گیرد. بنابراین مهمترین عاملی که در حرکت ذره باید مورد توجه قرارگیرد، نیروهای وارد بر ذره و قوانین حاکم بر این نیروها می‌باشد.

قوانین حرکت

در قلمرومکانیک کلاسیک ، یعنی در سرعتهای کوچکتر ازسرعت نور حرکت اجسام مختلف بر اساسقوانین حرکت نیوتن بطور کامل قابل تشریح است . این قوانین عبارتند از :

قانون اول

این قانون که در واقع بیانی در موردچارچوبهای مرجعمی‌باشد، به این صورت بیان می‌شود هر جسم که در حال سکون ، یا در حالتحرکت یکنواخت در امتداد خط مستقیم باشد، به همان حال باقی می‌ماند مگرآنکه در اثر نیروهای خارجی مجبور به تغییر آن حالت شود

قانون دوم

این قانون به صورتهای مختلف بیان می‌شود که یکی از آنها بر اساس تعریفاندازه حرکت خطیو دیگری برای تعریفشتاب حرکت می‌باشد. در حالت اول چنین گفته می‌شود که میزان تغییر اندازه حرکتخطی یک جسم ، با نیروی وارد بر آن متناسب و هم جهت می‌باشد. اما بر اساستعریف شتاب گفته می‌شود که هر گاه بر جسمی نیرویی وارد شود جسم در راستایآن نیرو ،شتاب می‌گیرد که اندازه آن نیرو متناسب است.

قانون سوم

این قانون که تحت عنوانقانون عمل و عکس‌العمل معروف است، حتی در بعضی از رفتارهای اجتماعی نیز مصداق دارد. بیان قانونسوم به این صورت است که هر عملی را عکس‌العملی است که همواره با آن برابربوده و در خلاف جهت آت قرار دارد. به عنوان مثال هنگام راه رفتن در رویزمین ، نیرویی از جانب و به طرف جلو بر ما وارد می‌شود که سبب حرکت ما بهسمت جلو می‌شود، برعکس ما نیز بر زمیننیرو وارد کرده و آن را به سمت عقب می‌رانیم. ولی چونجرم زمیندر مقایسه با جرم ما خیلی زیاد است، حرکت زمین به سمت عقب نامحسوس است.

قضیه کار و انرژی

در مکانیک برخلاف آنچه در بین عامه رایج است، واژۀ کار زمانی به کارمی‌رود که بر روی جسمی نیرویی اعمال شده و آن را جابجا کند ، و یا موجبتغییر در حرکت آن شود. بنابراین در دینامیک حرکت کار مفهوم با ارزشی است. اما کار به دو صورت می‌تواند بر روی جسم انجام شود. فرض کنید‌، جسمی باسرعت معین در حال حرکت است‌، اگر بر روی جسم کار انجام شود، این کار یامی‌تواند سرعت حرکت جسم را افزایش دهد و یا اینکه مانع حرکت شده و سرعتجسم را کاهش دهد.
در حالت اول که سرعت جسم افزایش پیدا می‌کند، اصطلاحا گفته می‌شود که کار انجام شده ، سبب ذخیرهانرژی در جسم می‌شود. اما در حالت دوم ما با صرف انرژی و انجام کار ، سرعت جسمرا کاهش می‌دهیم. از اینرو انرژیی که وابسته به سرعت جسم بوده وانرژی جنبشی نام دارد، تعریف می‌شود و قضیه کار و انرژی جنبشی بیان می‌کند که کار انجام شده بر روی جسم متناسب با تغییر انرژی جنبشی آن است.

مکانیک لاگرانژی وحرکت جسم صلب

حرکت ذره یک حالت تقریباً ایده آل و آرمانی از حرکت واقعی اجسام درفضای سه بعدی است. یعنی در بعضی موارد ، تقریب حرکت جسم به عنوان یک ذرهنمی تواند مفید واقع باشد. بنابراین در حالت کلی جسم به صورت یک جسم صلبدر فضا در نظر گرفته می‌شود و با تعریفمختصات تعمیم یافته (که متناسب با نوع حرکت بعد آن معین می شود ) ونیروهای تعمیم یافتهو با استفاده ازمعادلات لاگرانژحرکت جسم مورد بررسی قرار می‌گیرد. معادلات لاگرانژ و یا به بیان بهتر فرمولبندیمکانیک لاگرانژنسبت بهمکانیک نیوتنی (بر اساس قوانین نیوتن) حالت کلی‌تر و کاملتری می‌باشد.
در مکانیک لاگرانژی ابتدا کمیتی به عنوانلاگرانژی (و یاهامیلتونینکه برابر با تفاضلانرژی پتانسیل ازانرژی جنبشی است) که به صورت مجموع انرژی جنبشی وانرژی پتانسیل جسم تعریف می‌شود، محاسبه می‌گردد. و با قرار دادن آن در معادلات لاگرانژ ، معادله حرکت جسم حاصل می‌شود

حرکت پرتابی

حرکت پرتابی یکی از انواع حرکت با شتاب ثابت است که دریک مسیر خمیده انجام می‌شود. در این حرکت جسم پرتاب شده پس از طی مسیری روی منحنیفرضی در فاصله‌ای دورتر از محل پرتاب به زمینمی‌رسد

دید کلی

در حالت کلی هر حرکتی باشتاب و نوع مسیر حرکتمشخص می‌شود. به عنوان مثال ، در یکحرکتیکنواخت در امتداد خط راست که اصطلاحاحرکتمستقیم‌الخط یکنواختگفته می‌شود، شتاب صفر بوده و مسیر حرکت یک خط راستمی‌باشد. در تشریح انواع حرکت‌های شتابدار ، به دلیل سادگی ، حرکت با شتاب ثابتبیشتر مورد توجه است. حرکت پرتابی یکی از انواع حرکت با شتاب ثابت است که در یکمسیر خمیده انجام می‌شود. حرکت ایده‌آل توپ چوگان یا توپ گلف نمونه‌ای از حرکتپرتابی است.

حرکت پرتابی در غیاب مقاومت هوا

اگر ازمقاومت هواصرف‌نظر کنیم، تنها نیرویی که برجسم وارد می‌شود،نیروی گرانشاست. این نیرو به خاطرمیدانگرانش زمین ، شتاب ثابت و رو به پایین g (شتاب گرانشی) را بر جسم وارد می‌کند. بنابراین شتاب تنها یک مولفه قائم خواهد داشت و مولفه افق شتاب صفر خواهد بود. البته لازم به ذکر است که جهت سادگی شتاب گرانشی را ثابت اختیار می‌کنیم. چون نیرویگرانشی یکنیرویپایستار خواهد بود، بنابراین می‌توانیم یک نیروی پایستار تعریف کرده و هر جا کهلازم شد، ازقانونبقای انرژی استفاده کنیم.
اگر در فضای سه بعدی جهت g را در امتداد محور z ها اختیار کنیم، چون در امتداد محورهای x و y شتابی وجود ندارد، لذا حرکت در ایندو امتداد یکنواخت خواهد بود و تنها در جهت محور z حرکت شتابدار خواهیم داشت. بهاین ترتیب می‌توانیممعادلات حرکترا تشکیل داده و در مورد مسیرحرکت و سایر پارامترهای دیگر که در امر حرکت دخالت دارند، پیشگویی کنیم. اگرمعادلات حرکت را با استفاده از روشهای حلمعادلاتدیفرانسیل حل کنیم، معادله مسیر مشخص می‌شود. بنابراین ملاحظه می‌کنیم که مسیرحرکت یکسهمیخواهد بود.

حرکت پرتابی در حضور مقاوت هوا

در این حالت که تقریبا حالت واقعی‌تر حرکتیک پرتابه است، فرض می‌کنیم که مقاومت هوا به‌صورت یک نیروی تلف کننده بر پرتابهعمل کند. در این صورت حرکت پایا نبوده و در اثر آناصطکاکی ناشی از مقاومت هوا ، انرژی کل بطور مداوم در حال کاهش می‌باشد. اگر برای سادگی فرضکنیم که نیروی مقاومت هوا به‌صورت خطی با سرعت تغییر کند، در این صورت دو نیرو برپرتابه اثر می‌کند که یکی نیروی مقاومت هوا و دیگری نیروی گرانشی زمین است. بنابراین اگر معادلات حرکت را بنویسیم، در اینصورت در راستای سه محور مختصات شتابخواهیم داشت.

حال اگر با استفاده روشهای حل معادلات دیفرانسیل ، معادلاتحرکتی را حل کنیم، در این صورت به جوابهایی خواهیم رسید کهتوابعی نماییاز زمان هستند. در این حالتمسیر حرکت به‌صورت یک سهمی نیست، بلکه این مسیر به صورت منحنی است که زیر مسیر سهمیمتناظر (حالت بدون مقاومت هوا) قرار دارد. البته لازم به ذکر است که در حرکت واقعییک پرتابه در جو زمین ، قانون مقاومت هوا به صورت خطی نیست، بلکه به صورت تابعپیچیده‌ای از تندی است. با استفاده ازروشهای انتگرال گیری عددیبه کمککامپیوترهای با سرعت بالا ، می‌توان محاسبات دقیق مسیر حرکت را انجام داد.

برد حرکت پرتابی

اصطلاحا واژهبردبه مسافت افقیی اطلاق می‌شود کهپرتابه طی می‌کند تا به زمین برسد. بعد از حل معادلات حرکت و مشخص نمودن مولفه‌هایحرکت در راستاهای مختلف ، در مولفه z حرکت z =0 قرار داده و مقدار t را محاسبهمی‌کنیم. حال این مقدار t را در مولفه‌های x و y جایگذاری می‌کنیم. طبیعی است کهجذر مربع مجموع مولفه‌های x و y حرکت ، برابربرد پرتابهخواهد بود.

 

 

کاربرد حرکت پرتابی

کاربرد حرکت پرتابی معمولا در موارد نظامی بیشتر ازموارد دیگر است. به عنوان مثال ، دیدبان با استفاده از قوانین حرکت پرتابه مختصاتمحلی را که می‌خواهند بوسیله توپخانه هدف قرار دهند، تهیه می‌کند و آن را در اختیارافرادی که در کنار توپ قرار دارند، می‌دهد. سپس افراد دیگری این مختصات با تنظیملوله توپ پیاده می‌کنند، حال اگر توپ شلیک شود، به هدف مورد نظر اصابت خواهد نمود. بنابراین حرکت پرتابی در امور نظامی و جنگی کاربرد فوق‌العاده مهمی دارد.

سرعت متوسط

 

مقدمه

در بررسی حرکت هر ذره چارچوب مختصاتی در نظر گرفته می‌شود که حرکت نسبت به آن سنجیده می‌شود. در اینچارچوبموقعیت هر ذره را با بردار مکان مشخص می‌کنند. بردار مکان ، برداری است کهابتدای آن در مبدا چارچوب و انتهای آن خود ذره است. حال اگر ذره در لحظه t1 در نقطه A1 باشد که بردار مکان آن باr1 مشخص می‌شود، و در لحظه t2 در نقطه A2 با بردار مکان r2 باشد، در این صورت بردار جابجایی ذره (برداری که ابتدای آن نقطه A1 و انتهای آن A2 است) با r∆ مشخص می‌شود.

این بردار تغییر موضع ذره را نشان می‌دهد. اگر بردار جابجایی را بر فاصله زمانی t = t2 _ t1∆ ، که این جابجایی در آن صورت گرفته است تقسیم کنیم، کمیتی حاصل می‌شود کهسرعت متوسطنام دارد.

 

مشخصات سرعت متوسط

از آنجا که کمیت بردار جابجایی r∆ یککمیت برداری است، لذا سرعت متوسط نیز کمیتی برداری خواهد بود. یعنی سرعت متوسط علاوهبر بزرگی و مقدار دارای جهت نیز می‌باشد. جهت سرعت متوسط همان جهت بردارجابجایی ( r∆) است. یکای سرعت متوسط به صورت نسبت یکای مسافت بر یکای زمان ، مانند متر بر ثانیه یا کیلومتر بر ساعت بیان می‌شود. از نظرتحلیل ابعادی ، دیمانسیون سرعت متوسط بصورت ML خواهد بود. رابطه r/∆t∆ ،که بصورت اندازه جابجایی کل و زمان سپری شده بوده و هیچگونه اطلاعی دربارهچگونگی حرکت بین دو نقطه در اختیار ما قرار نمی‌دهد، سرعت متوسط نامیدهمی‌شود.
مسیر طی شده بین این دو نقطه می‌تواند منحنی یا خط راست باشد و حرکت می‌تواندیکنواخت ، نامنظم یا هر نوع دیگری باشد. اما با دانستن سرعت متوسط در این مورد هیچاطلاعی نمی‌توانیم بدست آوریم. دو نقطه اختیاری از مسیر حرکت یک ذره راانتخاب کرده و سرعت متوسطذرهرا در این دو نقطه تعیین می‌کنیم. اگر بردار سرعت متوسط از لحاظ بزرگی وجهت در این دو نقطه از مسیر یکسان باشند، می‌توان گفت که ذره باسرعت ثابت یعنی در امتداد یک خط راست (راستای ثابت) و با آهنگ ثابت (بزرگی ثابت) حرکت می‌کنند. به بیان دیگرحرکت مستقیم الخط یکنواختاست.

سرعت متوسط در حرکت یک بعدی با شتاب ثابت

ذره‌ای را در نظر بگیرید که باشتاب ثابت α در امتداد محور x حرکت می‌کند. از آنجا که شتاب بصورت آهنگ زمانی تغییر سرعت تعریف می‌شود،لذا اگر شتاب ثابت باشد، مفهوم آن این است که سرعت با آهنگ ثابت و یکنواختتغییر می‌کند. در این حالت سرعت متوسط در هر بازه زمانی برابر با نصفمجموع مقادیر سرعت در ابتدا و انتهای بازه زمانی می‌باشد. یعنی اگر سرعتدر لحظه t = 0 را با Vx0 و سرعت در لحظه t را با Vx نشان دهیم، در این صورت سرعت متوسط بصورت زیر خواهد بود.
اهمیت سرعت متوسط

اگر بخواهیم در مورد چگونگی ‍حرکت اطلاعات داشته باشیم، در این موردسرعت متوسط به ما کمکی نمی‌کند. اما در عوض در مورد یک حرکت ، اگر سرعتمتوسط و بردار جابجایی را داشته باشیم، به راحتی می‌توانیم زمان حرکت راتعیین کنیم. از نظر هندسی اگرنمودار مکان - زمان یک حرکت داده شده باشد، از روی شکل می‌توان سرعت متوسط را تعیین نمود. اگربخواهیم در مورد چگونگی حرکت و کیفیت آن آگاهی پیدا کنیم، باید ازسرعت لحظه‌ای (سرعتی که ذره در هر لحظه دارد) استفاده کنیم. سرعت لحظه‌ای بصورت حد سرعت متوسط ، زمانی که t∆ به سمت صفر میل می‌کند، تعریف می‌شود. در صورتی که حرکت با سرعت ثابت صورتگیرد (حرکت یکنواخت)، در این صورت سرعت متوسط و سرعت لحظه‌ای هر دو یکسانخواهند بود.

حرکت دورانی

یکی از حرکتهای مهم ، حرکت دورانی است. نمونه‌های بسیاری از این نوع حرکت را هر روز مشاهده می‌‌کنیم. چرخش زمین به دور محور خود نمونه‌ای از حرکت دورانی است. باید توجه داشته باشیم کهحرکت بر روی مسیر دایره‌ای ، با دوران یک جسم به دور یک محور تفاوت دارد. هر حرکت دورانی بامحور دورانوزاویه دورانمشخص می‌‌شود. زاویه دوران در سرعت زاویه‌ای جسم لحاظ می‌‌شود

سینماتیک دوران

جسم صلبیرا در نظر بگیرید که حول محوری که بر سطح این جسم عمود است، دورانمی‌‌کند. برای سادگی فرض می‌‌کنیم که محور دوران ثابت می‌‌باشد. اگر محلذره‌ای بر روی جسم در چارچوب مرجع ما معلوم باشد، می‌‌توانیم وضعیت تمامی‌جسم در حال دوران را در این چارچوب مرجع مشخص کنیم. لذا برای سینماتیکاین مسئله ، کافی است که فقط حرکت یک ذره بر روی یک دایره را در نظربگیریم. اندازه دوران در هر لحظه به وسیله زاویه θ ، زاویه‌ای که موضعزاویه‌ای ذره نسبت به موضع اولیه می‌‌سازد، تعیین می‌‌شود. لذا اگر جهتدوران پاد ساعتگرد را مثبت اختیار کنیم، در نتیجه θ هنگام دوران پادساعتگرد افزایش و هنگام دوران ساعتگرد کاهش پیدا می‌‌کند.

سرعت زاویه‌ای ω

آهنگ تغییرات جابه‌جایی زاویه‌ای ذره (θ) نسبت به زمان به عنوانسرعت زاویه‌ای متوسطتعریف می‌‌شود. در واقع اگر تغییرات زاویه‌ای را با ∆θ و مدت زمان اینتغییر را با ∆t نشان دهیم، در این صورت سرعت زاویه‌ای با نسبتبرابر است. حال اگر چنانکه از این عبارت هنگامی ‌که ∆t به سمت صفر میل می‌‌کند، حد بگیریم کمیت حاصلسرعت زاویه‌ای لحظه‌ایخواهد بود. با توجه به تعریفمشتق در واقع می‌‌توان گفت که سرعت زاویه‌ای با مشتق زمانی جابه‌جایی زاویه‌ای θ برابر است. یکای سرعت زاویه‌ای عکس یکای زمان است و معمولا یکاهای آن رارادیان بر ثانیهیادور بر ثانیهانتخاب می‌‌کنند.

شتاب زاویه‌ای α

اگر سرعت زاویه‌ای تغییر بکند، این تغییر سبب ایجادشتاب می‌‌گردد. این شتاب ،شتاب زاویه‌اینام دارد. اگر ω_1 و ω_2 به ترتیب سرعتهای زاویه‌ای لحظه‌ای در زمانهای t_1 و t_2 باشند، در این صورت شتاب زاویه‌ای متوسط که با ar α نشانمی‌‌دهیم، به صورت زیر خواهد بود:

حال اگر از این عبارت هنگامی که ∆t به سمت صفر میل می‌‌کند، حد بگیریم، در این صورت کمیت حاصل راشتاب زاویه‌ای لحظه‌ایمی‌گویند. چون سرعت زاویه‌ای (ω) برای تمام ذرات جسم صلب یکسان است، لذاشتاب زاویه‌ای (α) نیز برای تمام ذرات یکسان خواهد بود. یکای شتابزاویه‌ای عکس مجذور زمان است و یکاهای آن را معمولارادیان بر مجذور ثانیهیادور بر مجذور ثانیهتعریف می‌‌کنند.

مقایسه حرکت دورانی حول محور ثابت وحرکت انتقالی

دوران ذره (یا جسم صلب) حول یک محور ثابت با حرکت انتقالی ذره (یاجسم صلب) در یک امتداد ثابت هم‌خوانی صوری دارد. متغیرهای سینماتیک درحالت اول θ (جابه‌جایی زاویه‌ای) ، ω (سرعت زاویه‌ای) و α (شتاب زاویه‌ای) هستند، اما در حالت دوم x (جابه‌جایی خطی) ، v (سرعت خطی) و a (شتاب خطی) هستند. این کمیتها دو به دو متناظرند. البته اینها از لحاظ یکا با هماختلاف دارند. هرگاه در حرکت انتقالی محدودیت مربوط به حرکت در امتداد خطراست را حذف کنیم و حالت کلی حرکت سه بعدی را بر روی مسیر منحنی در نظربگیریم، متغیرهای خطی a ، v ، x به صورت مولفه‌های اسکالر بردارهایسینماتیکی vec a ، vec v ، vec r ظاهر می‌‌شوند، اما در صورت حذفمحدودیت دوران حول محور ثابت ، متغیرهای سینماتیک دوران به این سادگی بهبردار تبدیل نمی‌‌شوند.

با استفاده از تناظری که اشاره شد، به راحتی می‌‌توانمعادلات حرکترا در حرکت دورانی حول یک محور ثابت بدست آورد. فقط کافی است متغیرهایسینماتیکی حرکت انتقالی در امتداد ثابت را با متغییرهای سینماتیکی حرکت دورانی جایگزین کنیم.

نمایش برداری کمیتهای دورانی

جابه‌جایی ، سرعت و شتاب خطیکمیتهای برداری هستند. کمیتهای زاویه‌ای متناظر آنها نیز می‌‌توانند بردار باشند، چونعلاوه بر بزرگی باید جهتی نیز برای آنها در نظر گرفت. به عنوان مثال ، اگرمحور دوران ثابت نباشد، در این صورت نمی‌‌توان گفت که کمیتهای α ، ω ، θ باز هم حالتاسکالر دارند، اما نمی‌‌توانیم این کمیتها را بردار تصور کنیم.
بهعنوان مثال ، جابه‌جایی زاویه‌ای θ نمی‌‌تواند بردار باشد، چون به صورتبرداری با هم جمع نمی‌‌شوند. از ریاضیات می‌‌دانیم که حاصل جمع دو بردارخاصیت جابه‌جایی دارد، یعنی وقتی که دو بردار A و B را با هم جمعمی‌‌کنیم، فرقی ندارد که A+B بنویسیم یا B+A. در صورتی که در مورد θ کهزاویه دوران است، چنین نیست، اما اگر جابه‌جایی زاویه‌ای بینهایت کوچکباشد، می‌‌توان آن را برداری در نظر گرفت.

رابطه سینماتیک خطی و زاویه‌ای

هرگاه جسم صلبی حول یک محور ثابت بچرخد، هر ذره از آن بر روی یک مسیردایره‌ای حرکت می‌‌کند. لذا می‌‌توانیم حرکت این ذره را با متغیرهای خطییا متغیرهای زاویه‌ای توصیف کنیم. با استفاده از رابطه میان متغیرهای خطیو زاویه‌ای می‌‌توانیم از توصیف یکی توصیف دیگری را نتیجه بگیریم و اگرسرعت خطی را با v و سرعت زاویه‌ای را با ω و فاصله نقطه مورد نظر از جسمصلب از محور دوران را با r نشان دهیم. در این صورت v = ω r خواهد بود. درحرکت دایره‌ای دو نوع شتاب می‌‌تواند وجود داشته باشد. یکیشتاب مماسیاست که از تغییر سرعت خطی v حاصل می‌‌شود و دیگری شتاب زاویه‌ای است که از تغییرات سرعت زاویه‌ای ω بوجود می‌‌آید.

گشتاور نیرو

در حرکت انتقالینیرو را به شتاب خطی جسم وابسته می‌‌کنیم. در حرکت دورانی کمیتی که به شتاب زاویه‌ای جسم وابسته است،گشتاور نیرومی‌‌باشد. ابتدا گشتاور نیرو را برای حالت خاص یک ذره منفرد که از یکچارچوب مرجع لختمشاهده می‌‌شود، تعریف می‌‌کنیم. سپس آن را به دستگاههای ذرات تعمیممی‌‌دهیم. در مورد یک ذره منفرد که به فاصله r از مبدا مختصات قرار دارد وتحت تاثیر نیروی F حول محوری که از مبدا مختصات گذشته و بر صفحه شامل ذرهو نیرو عمود است، دوران می‌کند، گشتاور نیرو با حاصل‌ضرب برداری vec r در vec F برابر است.

در حرکت دورانی گشتاور نیرو با شتاب زاویه‌ایارتباط نزدیکی دارد، یعنی همان گونه که در حرکت انتقالی نیرو با حاصل‌ضربجرم و شتاب خطی برابر است، گشتاور نیرو نیز با حاصل‌ضرب شتاب زاویه‌ای درممان اینرسی (یعنی گشتاور لختی یا لختی دورانی) برابر است، یعنی اگر گشتاور نیرو را با au و ممان اینرسی را با I نشان دهیم، خواهیم داشت:

حرکت دورانی حول محوری که حرکت انتقالی دارد.

دوران حول یک محور ثابت حالت خاصی از حرکت دورانی است، اما اگر محوردوران ثابت نباشد، در این صورت شرایط فرق می‌‌کند. به عنوان مثال ،استوانه‌ای که بر روی یک سطح افقی می‌‌غلتد، نمونه‌ای از این نوع حرکتاست. حرکت غلتان این جسم را می‌‌توان ترکیبی از حرکتهای انتقالی و دورانیدر نظر گرفت. در مورد استوانه در هر لحظه نقطه تماس استوانه و سطح در حالحرکت است، چون جسم نمی‌‌لغزد. بنابراین در این حالت می‌‌توان حرکت راترکیب حرکت انتقالیمرکز جرم و حرکت دورانی حول محوری که از مرکز جرم می‌‌گذرد، دانست که هم ارز است بایک حرکت دورانی محض با همان سرعت زاویه‌ای حول محوری که از نقطه تماس جسمغلتان می‌‌گذرد.

 

دوران جسم صلب حول محور دلخواه

در کلی‌ترین حالت دوران جسم صلب حول محوری که ثابت نبوده و حرکتدورانی دارد، مورد بحث قرار می‌‌گیرد. در این حالت برای بررسی حرکت جسمصلب به صورت زیر عمل می‌‌کنیم:
دو سیستم مختصات که یکی در خارج ازجسم ثابت بوده و دیگری در روی جسم صلب قرار داشته و به همراه آن می‌‌چرخد،در نظر می‌‌گیریم. سیستم مختصات متصل به جسم را با پریم مشخص می‌‌کنیم. دراین صورت سه محور چارچوب ثابت و چارچوب متصل به جسم با هم زاویه می‌‌سازدکه این زوایا رازوایای اویلرمی‌‌گویند. به بیان دیگر ، می‌‌توان گفت که با سه دوران پی‌درپی به اندازهاین زاویه‌ها دو چارچوب پریم‌دار و بدون پریم بر هم منطبق می‌‌شوند.
بنابراینچارچوب برای نشان دادن جهت گیری جسم صلب در فضا نسبت به چارچوب ساکن درنظر گرفته می‌‌شود، اما در مورد جسم صلب می‌‌توان سه محور عمود بر هم چنانانتخاب کرد که حاصل‌ضرب ممانهای اینرسی صفر شوند. لازم به توضیح است مماناینرسی جسم صلب ، در حالت کلی ، به صورت یکماتریسخواهد بود که اعضای قطر اصلی ، ممان اینرسی اصلی و سایر عناصر را حاصل‌ضربممانهای اینرسی می‌‌گویند. بنابراین چارچوب سومی ‌در نظر گرفته می‌‌شود کهسه محور آن محورهای اصلی جسم صلب هستند.
به این ترتیب معادلات حرکت جسم صلب تنظیم می‌‌گردد و در مورد نحوه حرکت وتعادل جسم صلب بحث می‌‌شود. بدیهی است که در این حالت کمیتها به صورتتانسوریدر نظر گرفته می‌‌شوند. به عنوان مثال ،اندازه حرکت خطیبه صورت L = Iω بیان می‌‌شود که دراین جا I تانسور اینرسی است که نمایش آن به صورت یکماتریس مربعیاست و ω به صورت یکماتریس ستونیمی‌‌باشد. به خاطر پیچیدگیهای ریاضی از ارائه معادلات حرکتخودداری می‌‌شود.

 

 

حرکت انتقالی

دید کلی

حرکت اجسام یکی از آشناترین پدیده‌ها برای بشر در طول تاریخ بودهاست، زیرا در زندگی روزمره خود همواره با آن سر و کار داشته است. از اینروبشر از دیر باز کوشیده است تا حرکتهای مختلف اجسام را تجزیه کند و در هرمورد علت آنرا بیابد. اجسام بسیاری در اطراف ما در حالحرکت هستند، اجسامی به بزرگیکهکشانها و یا اجسام بسیار کوچکی چون ذره‌های گرد و غبار ، حتی در اجسامی که به نظرساکن می‌آیند و مثلا روی میز قرار دارند اتمهای آن جسم پیوسته در حالارتعاش‌اند.

هوای اطراف ما مرکب ازمولکولهایی است که بطور نامنظم به این سو و آن سو حرکت می‌کنند، حرکت اجسامی چونوسایل نقلیه ، پرندگان در حال پرواز ، جاری شدن آب در جویها از آشناترینحرکتهای اطراف ماست. حرکتهایی که در شرایط عادی با آن مواجه می‌شویم بسیارپیچیده می‌نمایند، به نظر هم نمی‌رسد از مشاهده‌های جداگانه بتوانیم به یکنتیجه گیری کلی برسیم که درباره همه حرکتها صادق باشد، لذا ساده‌ترین حرکتهمان حرکت در مسیر مستقیم است.

حرکت مستقیم الخط یکنواخت

حرکت روی خط راست یکی از ساده‌ترین انواع حرکت است. اگر جسم روی یکخط راست حرکت کند بطور معمول مبدأ مختصات را بر خطی که جسم روی آن حرکتمی‌کند در نظر می‌گیریم، در این صورت بردار مکان و جابجایی بر آن خط منطبقمی‌شوند. سرعت متوسط در این حرکت در هر فاصله زمانی دلخواه یکسان و برابر سرعت متحرک است. معادله مکان این متحرک نسبت به زمان تابع درجه اولی از زمان است: کهمکان اولیه یعنی فاصله متحرک از مبدأ محور مکان در لحظه شروع حرکت یعنیاست.

سرعت در صورتی که در جهت مثبت محورباشد ، مثبت است و در غیر اینصورت منفی است. نمودار مکان - زمان در این حرکت یک خط راست است که شیب خط برابرو عرض از مبدا آناست. نمودار سرعت - زمان در این حرکت خطی است موازی محور زمان و در صورتی که مثبت باشد، بالای محور و در صورتی که سرعت منفی باشد پایین محور زمان است.

حرکت شتابدار

حرکت شتابدارحرکتی است که در آن سرعت متحرک تغییر می‌کند. هنگامی که اتومبیل از حالسکون به راه می‌افتد با مشاهده سرعت سنج اتومبیل ملاحظه می‌شود که سرعت بهتدریج افزایش می‌یابد و در هنگام ترمز کردن سرعت آن به تدریج کاهشمی‌یابد. در این موارد که سرعت متحرک تغییر می‌کند حرکت شتابدار یا غیریکنواخت است. شتاب متوسطبرابر تغییر سرعت در واحد زمان است. وشتاب لحظه‌ایشتابی است که متحرک در هر لحظه داراست.

 

 

حرکتمستقیم الخط با شتاب ثابت

حرکتی است بر روی خط راست و با شتاب ثابت صورت می‌گیرد و جزء حرکتهایانتقالی است. به عبارت دیگر تغییرات سرعت در واحد زمان مقداریست ثابت ،یعنی در هر لحظه مقدار ثابتی به سرعت افزوده یا از آن کاسته می‌شود که اینمقدار ثابت شتاب حرکت است.

معادله سرعت - زمان

در هر حرکت شتابدار ، شتاب متوسط از رابطهبدست می‌آید که وقتی شتاب ثابت است شتاب لحظه‌ای با شتاب متوسط برابر است. در لحظه:

کهسرعت اولیه ،سرعت در لحظهو a شتاب حرکت است.

معادله مکان - زمان

معادله حرکت بصورتاست. لذا نمودار مکان - زمان در این نوع حرکت به شکل سهمی است که شیب خط مماس بر نمودار در هر لحظه برابر سرعت در آن لحظه است.

حرکت پرتابی

فرض کنید سنگی را پرتاب می‌کنیم، ولی سرعت اولیه در راستای قائمنیست. در این حالت مسیر حرکت سنگ در راستای قائم نخواهد بود، بلکه حرکت دریک صفحه انجام می‌شود. این حرکت راحرکت پرتابی و جسمی را که پرتاب شده پرتابه می‌نامند. آزمایش نشان می‌دهد که اگرمقاومت هوادر برابر حرکت سنگ ناچیز باشد شتاب سنگ پرتابی مانند پرتاب در راستای قائماست. یعنی شتاب در حرکت پرتابی به طرف پایین و در راستای قائم و مقدار آنثابت و برابراست. بجای بررسی حرکت پرتابی ، تصویر حرکت آنرا روی دو محور مختصاتوبررسی می‌کنیم. پس از مشخص شدن کلیه کمیتهای حرکت روی این دو محور می‌توانبا ترکیب کمیت‌ها مقدار آنها را در حرکت جسم روی مسیر خمیده بدست آورد.

 

 

برد پرتابه

فاصله محل برخورد پرتابه با سطح افقی که از نقطه پرتاب می‌گذرد، تانقطه پرتاب را برد پرتابه می‌نامند. برد پرتابه به سرعت اولیه و زاویهپرتاب سطح افق وابسته است:

سرعت پرتابه

سرعت پرتابه در هر نقطه از ترکیب سرعت در دو راستایوبدست می‌آید:

نقطه اوج

بالاترین مکانی را که پرتابه پس از پرتاب به آنجا می‌رسد نقطه اوجپرتابه می‌نامند. اوج پرتابه به سرعت اولیه و زاویه پرتاب وابسته است:

سقوط آزاد اجسام

یکی از موارد حرکت بر خط راست با شتاب ثابت حرکت اجسام در راستایقائم و در نزدیکی سطح زمین است که آنرا سقوط آزاد می‌نامند. آزمایش نشانمی‌دهد که اگر بتوان از اثر هوا بر حرکت اجسام چشم پوشید شتاب همه اجسامثابت و در راستای قائم و به طرف پایین است. اندازه این شتابو مقدار آن 9.8 m/s² است. معادله‌های حرکت و سرعت در سقوط آزاد همانمعادله‌های حرکت با شتاب ثابت است. در سقوط آزاد جابجایی در راستای قائماست، مکان متحرک بطور معمول بانشان داده می‌شود و مبدأ نقطه‌ای است که سقوط از آنجا شروع می‌شود. اگرجهت مثبت رو به پایین اختیار شود معادله حرکت سقوط آزاد به صورت زیر است:

 

تمامی اجسامی که از یک نقطه رها می‌شوند در شرایط خلاء با هم به زمینمی‌رسند. به عبارت دیگر در شرایط خلاء زمان سقوط بستگی به جرم ، جنس و شکلجسم ندارد

حرکت سقوط آزاد اجسام

 

دید کلی :

هنگامی که جسمی از ارتفاعی رها شود،شتاب می‌گیرد و سرعتش از مقدار صفر افزایش مییابد. جالب توجه است که در خلا ، تمامی اجسام از قبیل سنگ ، پر ،قطرات باران وذرات گرد و غباربه طور یکنواخت شتاب می‌گیرند، و باهم به زمین می‌رسند. این قاعده صرفا بهدلیل مقاومت هوا در مقابل سقوط اجسام ، که اثر آن بر «پر» موثر تر از اثرآن بر سنگ است، در زندگی روزمره که درمحیط خلاصورت نمی‌گیرد، صادق نیست.

شتاب حرکت سقوط آزاد :

شتاب سقوط آزاد اجسام در خلا به طبیعت جسم بستگی ندارد. بلکه فقط به محل جسم بستگی دارد. این شتاب ثابت است و مقدار آن باشتاب گرانشیکه با علامت g نشان داده می‌شود، برابر است که آن هم تحت عنوان شتاب ثقلی مطرح است و مقدار آن بر روی زمین برابر 9.8m/s² می‌باشد.

سقوط آزاد چیست؟

برای اینکه سنگی آزادانه سقوط کند، لازم نیست که شما آنرا در امتدادقائم رها کنید. می توانید سنگ را به طرف بالا ، پایین یا به اطراف پرتابکنید. به محض اینکه سنگ در هر جهتی اختیاری از دست شما رها شود، سقوط آزادخواهد کرد.

اگر سنگی را در امتداد قائم به طرف بالا باسرعت 25m/s پرتاب کنید ، چون شتاب به سمت پایین و در خلاف جهتسرعت است، سنگ بایستی در نقطه اوج حرکتش متوقف شده و برگردد. چون در حالت پایینآمدن شتاب در جهت حرکت است، سنگ سرعت می‌گیرد. اگر جسم در حال سکون ، خیلیسبک و یا سطح آن تخت باشد و یا اینکه از فاصله خیلی دور سقوط کرده باشد،مقاومت هواقابل توجه می‌شود و شتاب جاذبهزمین در چنین حالتی متغیر می‌باشد.

آزمایش ساده :

فرض کنید شخصی در پشت بام خانه ایستاده و توپی را درراستای افق پرتاب می کند. توپ بدون هیچگونه سرعتی در راستای قائم ، از دست شخص رها میشود. اما ،نیروی گرانشی اجازه نمی‌دهد که این وضعیت ادامه یابد. توپ بعد از رها شدن از دست شخصرها می‌شود. اما ،نیروی گرانشی اجازه نمی‌دهد که این وضعیت ادامه یابد . توپ بعد از رها شدن از دست شخص با شتاب 9.8m/s² به طرف پایینسرعت می‌گیرد و چون حرکت در امتداد قائم یک حرکت با شتاب یکنواخت است کهاز صفر شروع شده است، می‌توانیم از مجموعه معادلات استانداردحرکت با شتاب ثابتاستفاده کنیم.

معادلات حرکت سقوط آزاد :

 

• معادله مکان حرکت سقوط آزاد جسم بر حسب زمان یک معادله سهمی شکل است که نقطه ماکزیمم (قله) سهمی درنقطه اوججسم میباشد. Y=-gt²/2+V₀t در این معادله Y مکان جسم ، t زمان ، g شتاب جاذبه زمینو V₀ سرعت اولیه جسم می‌باشد.

 

• معادله سرعت حرکت سقوط آزاد بر حسب زمان یک معادله خطی است که تا نقطه اوج شیب خط منفی و حرکت کند شونده و از آن زمان به بعدحرکت شتابدار تندشوندهبا شیب مثبت می‌باشد. V=-gt+V₀ در این معادله V سرعت حرکت جسم می‌باشد.

 

• متعادله شتاب حرکت سقوط آزاد جسم مستقل از زمان بوده و درنزدیکی سطح زمین مقداری ثابت است و مقدار آن با دقت بالایی با شتاب گرانشیبر روی سطح زمین برابر است. a=g=9.8m/s²

 

• معادلهنیرو در این حرکت همانند شتاب مستقل از زمان بوده و بانیروی وزنجسم برابر است. F=ma=mg=9.8 m

 

• معادله مستقل از زمان حرکت سقوط آزاد :
  در این معادله سرعت اولیه و نهایی ، ارتفاع سقوط و شتاب جاذبه در غیاب زمان به هم مربوط می‌شوند.V²-V₀²=-2gy

مسایل کاربردی سقوط آزاد :

از این نوع حرکت و معادلاتش در توجیهحرکت جسم افتان،پرتاب موشک، حرکت پرتابی ، حرکت گلوله توپ ،صعود و فرود هواپیما،حرکت نوسانی سیستم جرم و فنرآویزان و غیره که هر کدام یا خودشان کاربردهای علمی پدیده‌اند و یامکانیزم عملشان این حرکت را در خود دارد و جهت کنترل و داشتن سیستمیپایدار با بازده بالا از مفاهیم و معادلات این حرکت در آنها استفاده می‌شود

 

 

 

 

 

حرکت پرتابی

حرکتپرتابی یکی از انواع حرکت با شتاب ثابت است که در یک مسیر خمیده انجاممی‌شود. در این حرکت جسم پرتاب شده پس از طی مسیری روی منحنی فرضی درفاصله‌ای دورتر از محل پرتاب به زمین می‌رسد.

 

دید کلی

در حالت کلی هر حرکتی باشتاب و نوع مسیر حرکت مشخص می‌شود. به عنوان مثال ، در یکحرکت یکنواخت در امتداد خط راست که اصطلاحاحرکت مستقیم‌الخط یکنواختگفته می‌شود، شتاب صفر بوده و مسیر حرکت یک خط راست می‌باشد. در تشریحانواع حرکت‌های شتابدار ، به دلیل سادگی ، حرکت با شتاب ثابت بیشتر موردتوجه است. حرکت پرتابی یکی از انواع حرکت با شتاب ثابت است که در یک مسیرخمیده انجام می‌شود. حرکت ایده‌آل توپ چوگان یا توپ گلف نمونه‌ای از حرکتپرتابی است.

حرکت پرتابی در غیاب مقاومت هوا

اگر ازمقاومت هواصرف‌نظر کنیم، تنها نیرویی که بر جسم وارد می‌شود،نیروی گرانشاست. این نیرو به خاطرمیدان گرانش زمین ، شتاب ثابت و رو به پایین g (شتاب گرانشی) را بر جسم وارد می‌کند. بنابراین شتاب تنها یک مولفه قائم خواهد داشت ومولفه افق شتاب صفر خواهد بود. البته لازم به ذکر است که جهت سادگی شتابگرانشی را ثابت اختیار می‌کنیم. چون نیروی گرانشی یکنیروی پایستار خواهد بود، بنابراین می‌توانیم یک نیروی پایستار تعریف کرده و هر جا که لازم شد، ازقانون بقای انرژی استفاده کنیم.

اگردر فضای سه بعدی جهت g را در امتداد محور z ها اختیار کنیم، چون در امتدادمحورهای x و y شتابی وجود ندارد، لذا حرکت در این دو امتداد یکنواخت خواهدبود و تنها در جهت محور z حرکت شتابدار خواهیم داشت. به این ترتیبمی‌توانیممعادلات حرکترا تشکیل داده و در مورد مسیر حرکت و سایر پارامترهای دیگر که در امر حرکتدخالت دارند، پیشگویی کنیم. اگر معادلات حرکت را با استفاده از روشهای حلمعادلات دیفرانسیل حل کنیم، معادله مسیر مشخص می‌شود. بنابراین ملاحظه می‌کنیم که مسیر حرکت یکسهمیخواهد بود.

حرکت پرتابی در حضور مقاوت هوا

در این حالت که تقریبا حالت واقعی‌تر حرکت یک پرتابه است، فرضمی‌کنیم که مقاومت هوا به‌صورت یک نیروی تلف کننده بر پرتابه عمل کند. دراین صورت حرکت پایا نبوده و در اثر آناصطکاکی ناشی از مقاومت هوا ، انرژی کل بطور مداوم در حال کاهش می‌باشد. اگر برایسادگی فرض کنیم که نیروی مقاومت هوا به‌صورت خطی با سرعت تغییر کند، دراین صورت دو نیرو بر پرتابه اثر می‌کند که یکی نیروی مقاومت هوا و دیگرینیروی گرانشی زمین است. بنابراین اگر معادلات حرکت را بنویسیم، در اینصورتدر راستای سه محور مختصات شتاب خواهیم داشت.

حال اگر با استفاده روشهای حل معادلات دیفرانسیل ، معادلات حرکتی را حل کنیم، در این صورت به جوابهایی خواهیم رسید کهتوابعی نماییاز زمان هستند. در این حالت مسیر حرکت به‌صورت یک سهمی نیست، بلکه اینمسیر به صورت منحنی است که زیر مسیر سهمی متناظر (حالت بدون مقاومت هوا) قرار دارد. البته لازم به ذکر است که در حرکت واقعی یک پرتابه در جو زمین، قانون مقاومت هوا به صورت خطی نیست، بلکه به صورت تابع پیچیده‌ای ازتندی است. با استفاده ازروشهای انتگرال گیری عددیبه کمک کامپیوترهای با سرعت بالا ، می‌توان محاسبات دقیق مسیر حرکت را انجام داد.

برد حرکت پرتابی

اصطلاحا واژهبردبه مسافت افقیی اطلاق می‌شود که پرتابه طیمی‌کند تا به زمین برسد. بعد از حل معادلات حرکت و مشخص نمودن مولفه‌هایحرکت در راستاهای مختلف ، در مولفه z حرکت z =0 قرار داده و مقدار t رامحاسبه می‌کنیم. حال این مقدار t را در مولفه‌های x و y جایگذاری می‌کنیم. طبیعی است که جذر مربع مجموع مولفه‌های x و y حرکت ، برابربرد پرتابهخواهد بود.

کاربرد حرکت پرتابی

کاربرد حرکت پرتابی معمولا در موارد نظامی بیشتر از موارد دیگر است. به عنوان مثال ، دیدبان با استفاده از قوانین حرکت پرتابه مختصات محلی راکه می‌خواهند بوسیله توپخانه هدف قرار دهند، تهیه می‌کند و آن را دراختیار افرادی که در کنار توپ قرار دارند، می‌دهد. سپس افراد دیگری اینمختصات با تنظیم لوله توپ پیاده می‌کنند، حال اگر توپ شلیک شود، به هدفمورد نظر اصابت خواهد نمود. بنابراین حرکت پرتابی در امور نظامی و جنگیکاربرد فوق‌العاده مهمی دارد.

 

منبع : سایت اطلاع رسانی دانشنامه رشد : www.daneshnameh.roshd.ir