مرکز دانلود خلاصه کتاب و جزوات دانشگاهی

فصل اول: كليات

 

1-1 موضوع اصلي آناليز ديناميكي سازه‌ها

هدف اصلي اين كتاب ارائه روش‌هايي براي محاسبه‌ي تنش‌ها و تغيير مكان‌هاي ايجاد شده در سازه‌هاي مختلف در تحت اثر بارگذاري ديناميكي دلخواه مي‌باشد. موضوع كتاب را مي‌توان توسعه روش‌هاي استاندارد براي آناليز سازه‌ها، كه معمولاً فقط شامل بارگذاري استاتيكي هستند، دانست، تا بدين ترتيب امكان در نظر گرفتن بارگذاري‌هاي ديناميكي نيز فراهم گردد. در اين كتاب، حالت بارگذاري استاتيكي صرفاً به صورت نوع خاصي از بارگذاري ديناميكي عنوان شده است. با اين حال، در آناليز سازه‌هاي خطي[1] بهتر است كه بين مؤلفه‌هاي استاتيكي و ديناميكي بارگذاري اعمال شده تفكيك به عمل آيد و واكنش[2] هر كدام از انواع بارگذاري به طور مجزا محاسبه گرديده و سپس با تركيب كردن مؤلفه‌هاي دو واكنش، نتيجه‌ي نهايي حاصل شود. هرگاه بدين ترتيب عمل شود، روش‌هاي آناليز ديناميكي و استاتيكي ماهيتاً از نظر خصوصيات با يكديگر اختلاف خواهند داشت.

در بحث حاضر، اصطلاح ديناميكي را مي‌توان بطور ساده به معني متغير زماني دانست؛ بنابراين بار ديناميكي عبارت است از هر نوع باري كه مقدار، جهت، يا نقطه‌ي اثر آن نسبت به زمان تغيير كند. همچنين، واكنش سازه نسبت به يك بارگذاري ديناميكي، يعني تنش‌ها و تغيير مكان‌هاي به وجود آمده در آن، نيز نسبت به زمان متغير مي‌باشد يعني واكنش ديناميكي است.

به طور كلي دو روش مختلف براي محاسبه‌ي واكنش ديناميكي سازه‌ها نسبت به بارگذاري ديناميكي وجود دارد: روش جزمي[3] و روش غيرجزمي.[4] انتخاب روشي كه بايستي براي هر حالت به كار رود بستگي به تبيين بارگذاري دارد. اگر تغييرات زماني بارگذاري بطور كامل قابل تعيين باشد، حتي اگر اين تغييرات داراي نوسانات خيلي زياد باشد يا اينكه به صورت نامنظم باشد، در اينجا از آن به عنوان بارگذاري ديناميكي معين[5] نام برده مي‌شود و آناليز واكنش هر سيستم سازه‌اي در تحت اثر بارگذاري ديناميكي معين را آناليز جزمي مي‌ناميم. از طرف ديگر، اگر تغييرات زماني بارگذاري بطور كامل مشخص نباشد ولي قابل بيان به صورت آماري باشد، به آن بارگذاري ديناميكي تصادفي[6] مي‌گويند؛ آناليز واكنش نسبت به بارگذاري ديناميكي تصادفي را آناليز غيرجزمي مي‌خوانند. تكيه‌ي اصلي اين كتاب در مورد بررسي روش‌هاي آناليز ديناميكي جزمي است. با اين وجود بخش چهارم كتاب به آناليز ديناميكي تصادفي به صورت مقدماتي اختصاص يافته است. همچنين، بخش پنجم كتاب، كه مربوط به كاربرد روش‌هاي ديناميك سازه‌ها در زمينه‌ي مهندسي زلزله است،‌ شامل يك فصل در خصوص آناليز غيرجزمي واكنش زلزله مي‌باشد.

به طور كلي واكنش سازه نسبت به هر نوع بارگذاري ديناميكي برحسب تغيير مكان‌هاي سازه بيان مي‌شود. بنابراين طبق روش آناليز جزمي، نمودار زماني تغيير مكان ناشي از هر نمودار بارگذاري معين بدست مي‌آيد؛ ديگر مشخصات واكنش جزمي سازه، از قبيل: تنش‌ها، كرنش‌ها،[7] نيروهاي داخلي و غيره معمولاً در مرحله‌ي دوم آناليز و به كمك تغيير مكان‌هايي كه قبلاً بدست آمده است محاسبه مي‌گردند. از طرف ديگر، با انجام آناليز غيرجزمي، اطلاعاتي آماري در مورد تغيير مكان‌هاي حاصل از بارگذاريي كه به صورت آماري تعيين شده باشد به دست مي‌آيد. در اين حالت، تغييرات تغيير مكان‌ها نسبت به زمان محاسبه نمي‌گردند و ديگر مشخصات واكنش از قبيل تنش‌ها، كرنش‌ها، نيروهاي داخلي و غيره بايستي بجاي محاسبه به كمك تغيير مكان‌ها، مستقيماً با استفاده از روش‌هاي مستقل غيرجزمي محاسبه شوند.

 

2-1 انواع بارگذاري‌هاي معين

تقريباً كليه انواع سيستم‌هاي سازه‌اي در طول عمر خود تحت اثر يك يا چندين شكل مختلف بارگذاري ديناميكي قرار مي‌گيرند. به منظور سهولت در بررسي موضوع، بارگذاري‌هاي جزمي يا معين به دو گروه اصلي تقسيم مي‌شوند، بارگذاري‌هاي متناوب و غيرمتناوب.

 

شكل1-1

چند شكل از انواع بارگذاري‌هاي معين به همراه مثال‌هايي كه چنين بارگذاري‌هايي مي‌تواند براي آنها اتفاق بيافتند در شكل 1-1 نشان داده شده است.

همانطور كه در شكل 1-1 (الف) و 1-1 (ب) مشاهده مي‌شود، بارگذاري متناوب عبارت است از بارگذاري تكراريي كه متوالياً داراي تغييرات زماني يكساني براي بسياري از سيكل‌هاي بارگذاري باشد. ساده‌ترين بارگذاري متناوب به صورت تغييرات سينوسي، مطابق شكل 1-1 (الف) مي‌باشد كه هارمونيكي ساده[8] خوانده مي‌شود؛ چنين بارگذاري‌هايي بر اثر توزيع نامتقارن جرم در ماشين‌هاي چرخنده به وجود مي‌آيند. شكل‌هاي ديگري از بارگذاري متناوب، مانند بارگذاري ناشي از فشار هيدروديناميكي به وجود آمده توسط پره‌هاي ملخ كشتي يا مانند بارگذاري ناشي از اثرات داخلي در دستگاه‌هاي پيستوني، معمولاً بسيار پيچيده‌تر هستند. ليكن، با استفاده از روش آناليز فوريه هر بارگذاري متناوب را مي‌توان به صورت مجموعه‌اي از مؤلفه‌هاي بارگذاري‌ هارمونيكي ساده در آورد؛ بنابراين به طور كلي، آناليز واكنش نسبت به هرگونه بارگذاري متناوب مشابه همان روش كلي مي‌باشد.

بارگذاري غيرمتناوب مي‌تواند به صورت بارگذاري كم تداوم ضربه‌اي يا به صورت كلي بارگذاري‌هايي با استمرار زياد باشد. انفجار، عامل شناخته شده‌اي براي به وجود آوردن بار ضربه‌اي مي‌باشد؛ براي چنين بارهاي كم تداومي مي‌توان از آناليزهاي ساده شده‌اي استفاده كرد. از طرف ديگر، يك بارگذاري كلي با تداوم زياد، از قبيل آنچه كه مي‌تواند در يك زلزله ايجاد شود، فقط به كمك روش‌هاي كاملاً كلي آناليز ديناميكي قابل بررسي مي‌باشد.

 

3-1 مشخصات اصلي يك مسأله ديناميكي

يك مسأله ديناميك سازه داراي دو وجه تمايز مهم به حالت نسبت بارگذاري استاتيكي مشابه مي‌باشد. اختلاف اولي كه قابل توجه است موضوع متغير زماني بودن مسأله ديناميكي است. از آنجا كه بارگذاري و واكنش نسبت به زمان تغيير مي‌كنند، بديهي است كه مسأله ديناميكي نمي‌تواند يك جواب منفرد داشته باشد، آنچنان كه مسأله‌ي استاتيكي دارد؛ بلكه براي انجام آناليز بايستي بطور متوالي جواب‌هايي متناظر با كليه‌ي زمان‌هايي كه در نمودار واكنش دخالت دارند به دست آيد. بدين ترتيب آناليز ديناميكي، بسيار پيچيده‌تر و وقت‌گيرتر از آناليز استاتيكي مي‌باشد.

 

شكل2-1

وجه تمايز اساسي ديگر بين مسايل ديناميكي و استاتيكي در شكل2-1 به نمايش در آمده است. هرگاه تير ساده‌اي مطابق شكل 2-1 (الف) تحت اثر بار استاتيكي P قرار داشته باشد، ممان داخلي و برش تغيير شكل آن بستگي مستقيم به بار اعمال شده داشته و مي‌توان آنها را با استفاده از P و اصول تعادل نيروها محاسبه كرد. از طرف ديگر، اگر مطابق شكل 2-1 (ب) بار P(t) بصورت ديناميكي وارد گردد، تغيير مكان تير بستگي به شتاب‌هايي دارد كه ايجاد كننده‌ي نيروهاي اينرسي مقاوم در مقابل شتاب‌هاست. بنابراين ممان داخلي و برش در تير شكل 2-1 (ب) نه تنها بايستي در تعادل با نيروي وارده‌ي خارجي باشد بلكه بايد با نيروهاي اينرسي ناشي از شتاب‌هاي تير نيز در تعادل باشد.

بدين لحاظ،‌ نيروهاي اينرسي كه در مقابل شتاب‌هاي سازه مقاومت مي‌كنند، مهمترين وجه تمايز يك مسأله‌ي ديناميك سازه‌ها مي‌باشند. به طور كلي، هرگاه نيروهاي اينرسي داراي سهم عمده‌اي در كل باري باشند كه در تعادل با نيروهاي الاستيك داخلي سازه است، بايستي در حل مسأله حالت ديناميكي آن در نظر گرفته شود. از طرف ديگر، اگر حركت‌ها آنقدر آهسته باشند كه نيروهاي اينرسي خيلي كوچك و قابل چشم پوشي باشند، انجام آناليز براي هر لحظه‌ي زماني موردنظر را مي‌توان طبق روش‌هاي آناليز استاتيكي سازه به عمل آورد حتي اگرچه كه واكنش به صورت متغير زماني باشد.

 

4-1 روش‌هاي ناپيوسته كردن[9] سيستم

روش جرم متمركز[10]

در سيستم ديناميكي نشان داده شده در شكل 2-1 (ب)، بديهي است كه به علت نيروهاي اينرسي ناشي از تغيير مكان‌هاي سازه، كه خود نيز متأثر از مقدار نيروهاي اينرسي هستند، آناليز بسيار پيچيده مي‌باشد، تنها راه براي مقابله با اين دور تسلسل از علت‌ها و معلول‌ها استفاده از معادلات ديفرانسيل براي فرمول‌بندي مسأله مي‌باشد. علاوه بر اين، به علت توزيع پيوسته‌ي جرم تير در طول آن، براي تعيين مكان نيروهاي اينرسي بايستي تغيير مكان‌ها و شتاب‌هاي كليه‌ي نقاط آن مشخص گردند. در اين حالت، براي آناليز بايستي فرمول بندي براساس معادلات ديفرانسيل جزئي[11] صورت بگيرد زيرا علاوه بر عامل زمان بايد موقعيت نقاط در طول دهانه نيز به عنون متغيرهاي مستقل در نظر گرفته شوند.

 

شكل3-1

از طرف ديگر، اگر جرم تير به صورت متمركز در نقاطي به طور مجزا بر روي تير فرض گردد، همان طور كه در شكل3-1 نشان داده شده است، انجام آناليز به مقدار قابل توجهي ساده مي‌شود زيرا نيروهاي اينرسي فقط در اين نقاط داراي جرم مي‌توانند به وجود آيند. در اين حالت لازم است كه فقط تغيير مكان‌ها و شتاب‌هاي اين نقاط مجزا تعيين گردند.

تعداد مؤلفه‌هايي از تغيير مكان كه بايستي براي منظور كردن اثرات كليه‌ي نيروهاي اينرسي عمده‌ي سازه در نظر گرفته شوند به عنوان تعداد درجات آزادي ديناميكي[12] سازه خوانده مي‌شود. به عنوان مثال، اگر سيستم نشان داده شده در شكل3-1 طوري مقيد شده باشد كه سه نقطه جرم‌دار آن فقط در جهت قائم حركت داشته باشند، آن را سيستمي با سه درجه‌ي آزادي مي‌خوانند. از طرف ديگر، اگر اين جرم‌ها داراي اينرسي چرخشي نيز باشند، آن گاه تغيير مكان‌هاي چرخشي اين سه نقطه نيز بايستي در نظر گرفته شوند و سيستم داراي 6 درجه آزادي خواهد بود. اگر تغيير شكل‌هاي محوري تير نيز قابل توجه بودند، تغيير مكان‌هايي موازي با محور تير نيز به وجود مي‌آمدند و سيستم داراي نه درجه‌ آزادي مي‌شد. به طور كلي، اگر سازه در فضاي سه بعدي تغيير شكل بدهد، هر جرم داراي شش درجه آزادي خواهد بود و سيستم مذكور داراي هجده درجه آزادي خواهد شد. از طرف ديگر، اگر جرم در آن نقاط طوري متمركز شده باشد كه اينرسي چرخشي سيستم قابل چشم پوشي باشد، سيستم سه بعدي داراي نه درجه آزادي خواهد بود. با توجه به اين مطالب، واضح است كه سيستمي كه داراي جرم پيوسته باشد، مانند شكل2-1 (ب) بي‌نهايت درجه آزادي خواهد داشت.

 

شكل4-1

تغيير مكان‌هاي تعميم يافته[13]

مدل كردن سيستم جرم متمركز در آناليز مسائل مختلف ديناميك سازه‌ها، كه در بالا شرح داده شد، وسيله‌ي ساده كننده‌اي براي محدود كردن تعداد درجات آزادي سيستم است. روش تمركز جرم در مورد سيستم‌هايي كه قسمت اعظم جرم كل آن در عمل نيز در نقاط معدود مجزايي متمركز شده باشد كاملاً مثمر ثمر است و بدين ترتيب مي‌توان بقيه‌ي جرم سيستم را كه به صورت پيوسته است، به صورت متمركز در همان نقاط تمركز اصلي جرم فرض كرده و خود سازه را بدون جرم در نظر گرفت.

در حالاتي كه جرم سيستم به صورت كاملاً يكنواخت در سرتاسر آن توزيع شده باشد استفاده از روش ديگري براي محدود كردن تعداد درجات آزادي ارجحيت دارد. روش فوق بر اين فرض استوار گرديده است كه شكل تغيير مكان يافته سازه را مي‌توان به صورت مجموع يك سري از الگوهاي تغييرمكاني مشخص بيان كرد؛ كه اين الگوها مختصات تغيير مكاني سازه مي‌باشند. مثال ساده‌اي براي اين روش تغيير مكان‌هاي سازه، عبارت است از نمايش تغيير شكل يك تير ساده به صورت سري مثلثاتي. در اين حالت، تغيير شكل را مي‌توان به صورت مجموع يك سري از موج‌هاي سينوسي مستقل، همانند شكل4-1، در نظر گرفت.

به طور كلي، هر شكل دلخواهي را كه با شرايط تكيه‌گاهي سازگار باشد، مي‌توان توسط يك سري نامحدود از چنين مؤلفه‌هاي موج سينوسي نمايش داد. دامنه‌هاي[14] شكل‌هاي سينوسي را مي‌توان به عنوان مختصات[15] سيستم در نظر گرفت و تعداد بي‌نهايت درجه‌ آزادي تير واقعي نيز در تعداد بي‌نهايت جملات موجود در سري ملحوظ شده‌اند. مزيت اين روش آن است كه توسط يك سري ساده از مؤلفه‌هاي موج سينوسي مي‌توان به تقريب خوبي از شكل واقعي تير دست يافت، بنابراين يك سيستم سه درجه آزادي داراي سه جمله در سري خواهد بود.

با توجه به اين نكته كه شكل سينوسي كه به عنوان الگوي تغيير مكاني فرضي در اين مثال به كار رفته است، يك انتخاب دلخواه بوده است، لذا مي‌توان روش مذكور را تعميم بيشتري داد. به طور كلي، هر شكل را كه با شرايط هندسي تكيه‌گاهي سيستم سازگار بوده و پيوستگي لازم در تغيير مكان‌هاي داخلي را ارضا نمايد، مي‌توان به كار برد.

براي هر مجموعه‌ي فرض شده‌اي از توابع تغيير مكان، شكل به دست آمده براي سازه بستگي به جمله دامنه Z_n دارد، كه به نام مختصات تعميم يافته خوانده مي‌شوند. تعداد الگوهاي فرض شده براي شكل بيانگر تعداد درجات آزادي در نظر گرفته شده در اين نحوه خاص از مدل كردن سيستم است. به طور كلي، با تعداد درجات آزادي يكسان، انجام آناليز ديناميكي توسط مدل كردن به روش تابع شكلي[16] داراي دقت بيشتري از روش جرم متمركز مي‌باشد. با اين حال، بايستي به خاطر داشت كه استفاده از مختصات تعميم يافته، به ازا هر درجه آزادي، نيازمند عمليات محاسباتي بيشتري مي‌باشد.

 

روش المان محدود[17]

روش سومي نيز كه به تازگي براي بيان كردن تغيير مكان‌هاي هر نوع سازه برحسب تعداد محدودي از مختصات تغيير مكاني مجزا بكار مي‌رود،‌ داراي تركيبي از ويژگي‌هاي خاص هر دو روش جرم متمركز و مختصات تعميم يافته مي‌باشد. اين روش كه اساس المان محدود در آناليز سازه‌هاي پيوسته مي‌باشد، روشي آسان و قابل اطمينان براي مدل كردن سيستم بوده و مخصوصاً در آناليز با كامپيوتر ديجيتالي بسيار كارآمد مي‌باشد.

مدل كردن به طريقه‌ي المان محدود براي كليه‌ي سازه‌ها قابل كاربرد مي‌باشد: قاب‌ها، كه شامل سرهم‌بندي كردن اعضا يك بعدي (تيرها، ستون‌ها و...) مي‌باشند؛ سازه‌هاي ورقه‌اي يا پوسته‌اي، كه از اعضا دو بعدي تشكيل شده‌اند و در حالت كلي اعضا سه بعدي. به منظور سهولت كار، در بحث حاضر فقط سازه‌هايي با اعضا يك بعدي مورد بررسي قرار مي‌گيرند ليكن تقسيم آن به اعضا سازه‌اي دوبعدي و سه بعدي كاملاً آسان است.

اولين قدم در روش المان محدود براي مدل كردن هر گونه سازه، از قبيل تير نشان داده شده در شكل 5-1، عبارت است از تقسيم كردن آن به تعداد قطعات يا المان‌هاي متناسب، همان گونه كه در شكل نشان داده شده است. اندازه اين المان‌ها دلخواه مي‌باشد، مي‌توانند همگي به يك اندازه بوده و يا هر كدام اندازه‌ي خاصي داشته باشند. انتهاي قطعات، يعني نقاطي كه به يكديگر متصل مي‌شوند، نقاط گره[18] خوانده مي‌شوند، تغيير مكان‌هاي اين گره‌ها به عنوان مختصات تعميم يافته سازه در نظر گرفته مي‌شوند.

 

شكل5-1

سپس تغيير مكان كل سازه، برحسب اين مختصات تعميم يافته و با استفاده از مجموعه‌ي فرضي مناسبي از توابع تغيير مكان، با به كار بردن رابطه‌اي با معادله بيان مي‌شود. در اين حالت، توابع تغيير مكان را توابع درون‌يابي[19] مي‌نامند زيرا توابع مذكور مشخص كننده‌ي شكل بين تغيير مكان‌هاي گره‌ها مي‌باشند. به طور مثال در شكل5-1 توابع درون‌يابي مربوط به دو درجه آزادي نقطه‌ي 3 كه باعث ايجاد تغيير مكان‌هاي قائم در تير مي‌شوند، نشان داده شده‌اند. اصولاً، اين توابع درون‌يابي مي‌توانند هر شكل منحني باشند كه از نظر داخلي پيوسته بوده و شرايط تغيير مكان هندسي حاكم بر سيستم بر اثر تغيير مكان‌هاي گره‌ها را ارضا نمايند. در المان‌هاي يك بعدي مناسب است كه از شكل‌هايي استفاده شود كه بر اثر اين تغيير مكان‌هاي گره‌ها در تير يكنواخت ايجاد مي‌شوند (اين شكل‌ها چند جمله‌اي هرميتي[20] درجه3 هستند كه در شكل5-1 نشان داده شده‌اند).

از آنجا كه توابع تغيير مكاني به كار رفته در اين روش، شرايط تعيين شده در روش قبلي را ارضا مي‌كنند، واضح است كه مختصات به كار رفته در روش المان محدود دقيقاً حالت خاصي از مختصات تعميم يافته هستند. مزاياي اين روش خاص عبارتند از:

1. هر تعداد دلخواه از مختصات تعميم يافته را مي‌توان فقط به كمك تقسيم كردن سازه به تعداد قطعات متناسب به كار برد.

2. از آنجا كه توابع تغيير مكان انتخاب شده براي هر قطعه مي‌توانند يكسان باشند، عمليات محاسباتي ساده‌تر مي‌گردد.

3. معادلات بدست آمده توسط اين روش به مقدار زيادي غيردرگير[21] هستند زيرا هر تغيير مكان گره‌اي فقط روي المان‌هاي مجاور خود اثر مي‌گذارد، بنابراين حل مسأله به مقدار زيادي ساده‌تر مي‌گردد.

به طور كلي، روش المان محدود كارآمدترين روش‌ها براي بيان كردن تغيير مكان‌هاي هر نوع سازه دلخواه به اشكال گوناگون به توسط يك مجموعه‌ي مجزا از مختصات است.

 

5-1 فرمول بندي معادلات حركت

همانگونه كه قبلاً اشاره شد، هدف اصلي از آناليز جزمي ديناميك سازه‌ها محاسبه‌ي نمودار زماني تغيير مكان سازه در تحت اثر بار متغير زماني مي‌باشد. در بسياري از حالات، يك آناليز تقريبي كه فقط شامل تعداد محدودي از درجات آزادي سيستم باشد دقت كافي را به دست مي‌دهد و بدين ترتيب مسأله تبديل مي‌شود به تعيين نمودار زماني اين مؤلفه‌هاي تغيير مكاني انتخاب شده. روابط رياضي را كه نشان دهنده‌ي تغيير مكان‌هاي ديناميكي باشند معادلات حركت سازه مي‌نامند و حل اين معادلات حركت نمودار تغيير مكان‌هاي موردنظر را به دست مي‌دهد.

فرمول بندي معادلات حركت يك سيستم ديناميكي تقريباً مهمترين و گاهي اوقات مشكل‌ترين، مرحله تمام آناليز مي‌باشد. در اين كتاب، براي فرمول بندي معادلات حركت از سه روش استفاده خواهد شد، كه هر كدام آنها داراي مزيت‌هاي خاصي در رابطه با بررسي انواع مختلفي از مسايل مي‌باشند. مفاهيم اصلي هر كدام از اين روش‌ها در پاراگراف‌هاي زير شرح داده شده است.

 

 

تعادل مستقيم؛[22] استفاده از اصل دالامبر

معادلات حركت هر سيستم ديناميكي نشان دهنده‌ي روابط مربوط به قانون دوم حركت نيوتن است كه براساس آن ميزان تغييرات اندازه‌ي حركت[23] هر جرمm برابر است با نيروي وارده بر آن.

P(t) بردار نيروي وارد بر سيستم و v(t) بردار موقعيت جرمm است. در اغلب مسائل مطرح در ديناميك سازه‌ها مي‌توان فرض كرد كه جرم نسبت به زمان متغير نمي‌باشد.

اين مفهوم كه هر جرم يك نيروي اينرسي ايجاد مي‌كند كه متناسب با شتاب آن بوده و در مقابل شتاب نيز مقاومت مي‌كند به نام اصل دالامبر[24] شناخته شده است. اصل دالامبر در مسائل ديناميك سازه‌ها طرح بسيار خوبي است زيرا امكان بيان كردن معادلات حركت را به صورت معادلات تعادل ديناميكي فراهم مي‌سازد. نيروي p(t) را مي‌توان شامل هر نوع بار عامل بر جرم دانست: قيود الاستيكي[25] كه در مقابل تغيير مكان‌ها مقاومت مي‌كنند، نيروهاي ويسكوز كه در مقابل سرعت مقاومت مي‌كنند و هر بارگذاري مستقل خارجي. بنابراين اگر نيروي اينرسي، كه مقاوم در برابر شتاب است، به كار رود، رابطه‌ي معادله‌ي حركت همان رابطه‌ي تعادل كليه‌ي نيروهاي وارد بر جرم خواهد بود. در بسياري از مسائل ساده، مستقيم‌ترين و ساده‌ترين راه براي فرمول بندي معادلات حركت استفاده از اين تعادل مستقيم مي‌باشد.

 

اصل تغيير مكان‌هاي مجازي

هرگاه سيستم سازه تا حدي بغرنج باشد و داراي تعدادي نقاط جرم يا اجسامي با ابعاد محدود باشد، استفاده از روش تعادل مستقيم كليه‌ي نيروهاي اعمال شده بر سيستم مشكل خواهد بود. غالباً، نيروهاي مختلف موجود را مي‌توان به سادگي برحسب درجات آزادي تغيير مكاني بيان كرد، در حالي كه روابط تعادل آنها ممكن است خيلي پيچيده باشد. در اين حالات، مي‌توان براي فرمول بندي كردن معادلات حركت بجاي روابط تعادل از اصل تغيير مكان‌هاي مجازي[26] استفاده كرد.

اصل تغيير مكان‌هاي مجازي را مي‌توان چنين شرح داد. هرگاه سيستمي را كه در حالت تعادل با نيروهاي وارد بر آن است، تحت اثر يك تغيير مكان مجازي قرار دهيم، يعني تحت هر تغيير مكان سازگار با قيدهاي سيستم قرار دهيم، كل كار انجام شده توسط نيروها صفر خواهد بود. با توجه به اين اصل، بديهي است كه صفر بودن كار انجام شده در طول تغيير مكان‌هاي مجازي معادل حالت تعادل مي‌باشد. بنابراين، براي بدست آوردن معادلات واكنش يك سيستم ديناميكي ابتدا بايستي كليه‌ي نيروهاي عامل بر جرم‌هاي سيستم، كه شامل نيروهاي اينرسي تعريف شده طبق اصل دالامبر نيز مي‌باشد، تعيين گردند. سپس با وارد كردن تغيير مكان‌هاي مجازي متناظر با هر كدام از درجات آزادي و مساوي صفر قرار دادن كار انجام شده، معادلات حركت به دست مي‌آيد. از مزيت‌هاي بزرگ اين روش اسكالر بودن مقادير كار مجازي مي‌باشد كه مي‌توان آنها را به طور جبري جمع كرد، در حالي كه نيروهاي وارد بر سازه به صورت بردار بوده و فقط از روش برداري قابل تركيب مي‌باشند.

 

اصل هاميلتون

روش ديگر براي پرهيز از معادلات برداري تعادل در مسائل، استفاده از مقادير انرژي اسكالر به صورت تغييرات[27] مقدار مي‌باشد. اصل هاميلتون[28] داراي بيشترين كاربرد در مكانيك وارياسيون است.

طبق اصل هاميلتون تغييرات انرژي جنبشي و پتانسيل به اضافه‌ي تغييرات كار انجام شده توسط نيروهاي غير پايستار در طول فاصله‌ي زماني t₁ تا t₂ برابر صفر مي‌باشد. با استفاده از اين اصل، معادلات حركت هر سيستم مستقيماً به دست مي‌آيند. فرق اين روش با آناليز كار مجازي به كار مي‌روند، علي‌رغم جملات كار كه اسكالر مي‌باشند، همگي برداري هستند.

قابل توجه است كه اصل هاميلتون را براي مسائل استاتيك نيز مي‌توان به كار برد. در اين حالت، جمله‌ي مربوط به انرژي جنبشي T صفر مي‌گردد و جملات باقيمانده در زير انتگرال نسبت به زمان غير متغير مي‌باشند.

كه همان اصل معروف انرژي پتانسيل مينيمم است كه كاربرد وسيعي در آناليز استاتيكي دارد.

 

خلاصه

همان طور كه ملاحظه شد، معادلات حركت يك سيستم ديناميكي را مي‌توان از سه روش متمايز به دست آورد. سهل الوصول‌ترين روش استفاده‌ي مستقيم از تعادل ديناميكي كليه‌ي نيروهاي عامل بر سيستم، با در نظر گرفتن اثرات اينرسي توسط اصل دالامبر مي‌باشد. به هر حال، در سيستم‌هاي بغرنج‌تر، مخصوصاً سيستم‌هايي كه داراي جرم و الاستيسيته پيوسته در نواحي محدودي مي‌باشند،[29] استفاده‌ي مستقيم از معادلات تعادل برداري مشكل خواهد بود و فرمول بندي به روش كار يا انرژي كه فقط شامل مقادير اسكالر مي‌باشد آسانتر خواهد بود. مستقيم‌ترين اين روش‌ها براساس اصل تغيير مكان‌هاي مجازي قرار دارد، كه مطابق آن نيروهاي وارد بر سيستم به طور مستقيم محاسبه مي‌گردند ولي معادلات حركت از در نظر گرفتن كار انجام شده در طول تغيير مكان‌هاي مجازي مناسب به دست مي‌آيند. از طرف ديگر، طبق روش فرمول بندي انرژي، كه بر اصل هاميلتون استوار است، مستقيماً از نيروهاي داخلي يا پايستار وارد بر سيستم استفاده نمي‌شود و اثرات اين نيروها توسط تغييرات انرژي جنبشي و پتانسيل سيستم نشان داده مي‌شود. بايستي توجه داشت كه هر سه روش كاملاً معادل بوده و همگي منجر به معادلات حركت يكساني مي‌گردند. روشي كه بايستي در هر مورد اختيار شود بستگي به سهولت كار و نظر شخص دارد؛‌ اين انتخاب معمولاً بستگي به طبيعت سيستم ديناميكي موردنظر دارد.

 

6-1 مطالب كتاب حاضر

در بررسي تئوري ديناميك سازه‌ها در كتاب حاضر، توجه خاصي به بخش اول در خصوص عملكرد سيستم‌هاي داراي يك درجه آزادي،[30] يعني سيستم‌هايي كه در آنها تغيير مكان را مي‌توان توسط دامنه‌ي يك مختصات منفرد نشان داد، معطوف شده است. اين نوع از مسائل به دو دليل به طور مفصل مورد بررسي قرار خواهد گرفت:

1. رفتار بسياري از سازه‌هاي متداول را مي‌توان برحسب يك مختصات منفرد بيان كرد، در اين صورت، حل سيستم با يك درجه آزادي جواب دقيق نهايي را به دست مي‌دهد.

2. در سازه‌هاي خطي كه داراي اشكال بغرنج‌تري باشند، واكنش كل سيستم را مي‌توان بصورت مجموع واكنش‌هاي يك سري از سيستم‌هاي يك درجه آزادي بيان كرد. بنابراين روش آناليز سيستمي با يك درجه آزادي پايه و اساس بخش عظيمي از آناليز ديناميكي جزمي سازه‌ها مي‌باشد.

در بخش دوم سيستم‌هاي ناپيوسته‌ي[31] داراي چند درجه آزادي،[32] يعني سيستم‌هايي كه رفتار آنها را مي‌توان برحسب چند مختصات معدود بيان كرد، مورد بحث قرار گرفته‌اند. در آناليز سيستم‌هاي الاستيك خطي، روش‌هايي براي محاسبه‌ي مشخصات ارتعاش ارائه خواهد شد و سپس روش تركيب مودها مورد بررسي قرار مي‌گيرد كه طبق آن واكنش كل سيستم به صورت مجموع واكنش‌هاي انفرادي مودهاي مختلف ارتعاش بيان مي‌گردد. ملاحظه خواهد شد كه محاسبه‌ي هر واكنش انفرادي مودها شامل آناليز سيستم با يك درجه‌ي آزادي مي‌باشد. اين روش تركيب مودها را نمي‌توان براي سيستم‌هاي غيرخطي به كار برد، براي حل چنين مسائلي روش انتگرال گيري گام به گام ارائه خواهد شد.

سيستم‌هاي ديناميكي داراي مشخصه‌هاي پيوسته[33] در بخش سوم مورد بررسي قرار مي‌گيرند. چنين سيستم‌هايي داراي بي‌نهايت درجه آزادي هستند و معادلات حركت آنها به صورت معادلات ديفرانسيل جزئي نوشته مي‌شود، با اين حال، نشان داده خواهد شد كه روش تركيب مودها باز هم اعتبار داشته و براي سازه‌هاي متداول مي‌توان واكنش لازم را با در نظر گرفتن تعداد معدودي از مودهاي ارتعاش به دست آورد.

در بخش‌هاي اول تا سوم از روش‌هاي آناليز جزمي استفاده شده است كه براساس آنها نمودار واكنش سيستم‌ها نسبت به هر نوع بارگذاري ديناميكي به دست مي‌آيد. روش احتمالات در آناليز ديناميكي در بخش چهارم آمده است، كه با شرح اصول تئوري احتمالات آغاز شده و شامل آناليز سيستم‌هاي يك درجه‌ي آزادي و چند درجه آزادي مي‌باشد.

در بعضي موارد نمي‌توان محرك سيستم‌هاي ديناميكي خاصي را به طور دقيق تعيين كرد. در چنين حالاتي، مي‌توان مشخصات محرك را با روش‌هاي احتمالات تعيين كرد و سپس مطابق روش‌هاي احتمالات واكنش سيستم را پيش بيني كرد. البته چنين نتايجي براي طراح داراي همان ارزش نتايج بدست آمده از روش‌هاي جزمي را دارد و حتي در بعضي مواقع بيشتر از آنها قابل اعتماد است مخصوصاً در حالاتي كه براي انجام آناليز جزمي فرضيات قابل ترديدي در آناليز صورت مي‌گيرد. به طور يقين، امكان پيش بيني جزمي واكنش ديناميكي سيستم‌هايي از قبيل موارد زير، به هر درجه‌ي تقريب وجود ندارد:

1. هواپيماي در حال پرواز در هواي طوفاني

2. حركت كشتي‌ها در درياهاي طوفاني

3. ساختمان‌هايي در تحت تأثير زلزله‌ي شديد

4. قطعاتي از اسلحه‌ها كه تحت اثر صداي شديدي سيستم قرار دارند.

5. وسايل نقليه در حال عبور از جاده‌ي پر دست انداز

از آنجا كه تئوري احتمالات اساس آناليز غير جزمي مي‌باشد، بعضي از اصول اين تئوري در فصل22 آمده است. از اين اصول در روش تصادفي فصل23 استفاده شده است، كه خود اين روش نيز در بررسي ارتعاشات تصادفي[34] سيستم‌هاي خطي يك درجه آزادي در فصل 24 و سيستم‌هاي چند درجه آزادي در فصل25 مورد استفاده قرار گرفته است.

و بالاخره، بخش پنجم به كاربرد تئوري ديناميك سازه‌ها در مهندسي زلزله اختصاص يافته است. در اين بخش به آن قسمت از كاربردهاي آناليز ديناميكي سازه‌ها توجه شده است كه داراي استفاده اصلي در مسائل مهندسي ساختمان مي‌باشد. و به هر حال، اين روش‌هاي اساسي به طور يكسان قابليت كاربرد در آناليز بارگذاري باد در مهندسي ساختمان يا مسائل موجود در صنايع هوايي، مهندسي دريايي، مهندسي مكانيك يا هر نوع سيستم سازه‌اي در تحت اثر بارگذاري ديناميكي را دارند.

 

فصل دوم: فرمول بندي معادله‌ي حركت

1-2 اجزاي اساسي سيستم ديناميكي

مشخصه‌هاي فيزيكي[35] اصلي هر سيستم سازه‌اي الاستيك خطي، در تحت اثر بارهاي ديناميكي، شامل جرم، خواص الاستيكي (انعطاف پذيري[36] يا سختي[37])، مكانيزم اتلاف انرژي يا استهلاك[38] و محرك خارجي يا بارگذاري مي‌باشد. در ساده‌ترين مدل از يك سيستم با يك درجه آزادي، هر كدام از اين مشخصه‌ها را متمركز در يك المان فيزيكي فرض مي‌كنند چنين سيستمي در شكل 1-2 (الف) نشان داده شده است.

كل جرمm اين سيستم در يك قطعه المان صلب[39]متمركز شده است. غلطك‌ها باعث محدوديت حركت اين سيستم در يك جهت خاص شده است، به طوري كه يك مختصات تغيير مكاني v مي‌تواند موقعيت آن را به طور كامل مشخص نمايد. مقاومت الاستيكي سيستم در مقابل تغيير مكان، توسط يك فنر بدون وزن به سختيk و مكانيزم اتلاف انرژي نيز توسط مستهلك كننده‌يc نمايش داده شده است. بارگذاري خارجي اين سيستم كه باعث واكنش ديناميكي آن مي‌گردد، بار متغير زماني p(t) مي‌باشد.

 

2-2 روش‌هاي فرمول بندي

تعادل مستقيم

معادلات حركت سيستم نشان داده شده در شكل 1-2 (الف) را مي‌توان توسط هر كدام از روش‌هاي شرح داده شده در فصل اول به دست آورد. در اين حالت ساده، معادلات حركت را مي‌توان به سادگي از راه نوشتن تعادل نيروها بر روي جرم به دست آورد.

 

شكل1-2

مطابق شكل 1-2 (ب)، نيروهايي كه در جهت آزادي سيستم به جرم وارد مي‌شوند عبارتند از بار خارجي p(t) و سه نيروي ناشي از حركت يعني نيروي اينرسي f_I، نيروي استهلاكي f_D و نيروي فنر الاستيكf_S. به اين ترتيب، معادله‌ي حركت همان رابطه‌ي تعادلي بين اين نيروها مي‌باشد.

هر كدام از نيروهاي نشان داده در سمت چپ اين معادله، تابعي از تغيير مكانv و يا مشتق‌هاي آن مي‌باشد. جهت مثبت اين نيروها، به طور دلخواه، طوري انتخاب شده است كه با جهت منفي تغيير مكان، يكسان باشد، لذا از اين نيروها در جهت خلاف نيروهاي وارده مي‌باشند.

نيروي الاستيك از حاصلضرب سختي فنر و تغيير مكان به دست مي‌آيد.

نيروي اينرسي نيز، براساس اصل دالامبر، از حاصلضرب جرم و شتاب به دست مي‌آيد.

و بالاخره، اگر مكانيزم اتلاف انرژي به صورت استهلاك ويسكوز[40] در نظر گرفته شود، نيروي استهلاكي از حاصلضرب ثابت مستهلك كننده[41] c و سرعت به دست مي‌آيد.

 

آناليز كار مجازي

به دست آوردن معادله حركت اين سيستم از روش كار مجازي نيز مي‌تواند مفيد باشد. نيروهايي كه بر روي جرم اثر مي‌كنند در شكل 1-2 (ب) نشان داده شده است. هرگاه به اين جرم، يك تغيير مكان مجازي vδ داده شود (تنها تغيير مكاني كه با قيود اين سيستم سازگار است) هر كدام از اين نيروها كار انجام خواهند داد.

علامت‌هاي منفي در اين معادله، بيانگر آن است كه نيروها در خلاف جهت تغيير مكان مجازي عمل كرده‌اند. vδ غيرصفر است.

كاربرد اصل هاميلتون

براي تكميل اين بحث، معادله‌ي حركت اين سيستم با استفاده از اصل هاميلتون نيز محاسبه مي‌گردد. انرژي پتانسيل آن، همان انرژي كرنشU فنر است.

نيروي استهلاكي f_D و نيروي خارجي p(t)، نيروهاي غير پايستار اين سيستم هستند.

اين مثال نشان مي‌دهد كه چگونه مي‌توان معادله‌ي حركت يكساني را به كمك هر كدام از اين سه روش اساسي به دست آورد. در اين سيستم ساده‌ي خاص، بديهي است كه استفاده از روش تعادل ارجحيت دارد.

 

شكل2-3

3-2 تأثير نيروهاي ثقلي

اكنون، سيستم نشان داده شده در شكل 2-2 (الف) را در نظر بگيريد. اين سيستم، همان شكل 1-2 (الف) است كه 90 درجه چرخانيده شده است، به طوري كه نيروي ثقلي در جهت تغيير مكان بر آن اثر مي‌كند. نيروهايي كه بر روي جرم اين سيستم عمل مي‌كنند، در شكل 2-2 (ب) نشان داده شده‌اند. كه W وزن قطعه‌ي صلب مي‌باشد.

معادله‌ي حركت يك سيستم ديناميكي، كه بر مبناي موقعيت تعادل استاتيكي آن نوشته شده باشد، از نيروهاي ثقلي متأثر نخواهد بود. بدين دليل، در كليه‌ي مباحث آتي، تغيير مكان‌ها بر مبناي موقعيت استاتيكي در نظر گرفته شده و تغيير مكان‌هاي به دست آمده نيز همان واكنش ديناميكي سيستم خواهند بود. به اين ترتيب، تغيير مكان كل، تنش كل و غيره را مي‌توان از جمع كردن مقادير به دست آمده از آناليز ديناميكي با مقادير متناظر استاتيكي به دست آورد.

 

شكل3-2

4-2 تأثير تحريك تكيه‌گاه‌ها

تنش‌ها و تغيير مكان‌هاي ديناميكي در يك سازه، نه تنها مي‌تواند بر اثر اعمال بار متغير زماني به وجود آيد، مانند شكل 1-2 و شكل2-2، بلكه بر اثر حركات تكيه‌گاه‌هاي آن نيز به وجود مي‌آيد. مثال‌هاي بارز چنين محرك‌هايي، حركات فونداسيون يك ساختمان در اثر زلزله و حركات تكيه‌گاه يك دستگاه بر اثر ارتعاش ساختماني كه در آن نصب شده، مي‌باشند. مدل ساده‌اي از مثال محرك زلزله در شكل 3-2 نشان داده شده است، كه در آن حركت افقي زمين بر اثر زلزله توسط تغيير مكان v_g فونداسيون سازه نسبت به يك محور ثابت مشخص شده است.

فرض شده است كه تير افقي اين قاب، صلب بوده و تمام وزن سازه در آن متمركز شده باشد. ستون‌هاي قائم بدون وزن فرض شده و در جهت قائم (محوري) داراي تغيير طول نمي‌باشند‌ و مقاومت هر كدام از آنها در مقابل تغيير مكان تير با ضريب فنر k/2 نشان داده شده است. بدين ترتيب، جرم داراي يك درجه آزادي، v، مي‌باشد كه به خمش ستون‌ها مرتبط است؛ مستهلك كننده‌ي c نيز نيروي مقاومي متناسب با سرعت در مقابل اين تغيير شكل ايجاد مي‌كند.

V_t عبارت از تغيير مكان كل جرم از محور مبنا مي‌باشد.

براي حل كردن معادله، ابتدا بايستي كليه‌ي نيروها برحسب يك متغير يكسان نوشته شوند، بدين منظور بايستي توجه كرد كه حركت جرم را مي‌توان به صورت مجموع حركت زمين و تغيير مكان ستون نوشت.

P_eff(t) نشان دهنده‌ي بار مؤثر محرك تكيه‌گاهي مي‌باشد؛ به عبارت ديگر، واكنش سازه نسبت به شتاب زمين _g(t)ϋ دقيقاً همانند واكنش آن نسبت به بار خارجي p(t) است كه مساوي با حاصلضرب جرم در شتاب زمين باشد. علامت منفي در معادله مشخص مي‌كند كه نيروي مؤثر در خلاف جهت زمين مي‌باشد؛ در عمل اين موضوع هيچ تأثيري ندارد، زيرا معمولاً بايد فرض كرد كه تكيه‌گاه در هر جهت دلخواهي تحت تأثير قرار مي‌گيرد.

 

[1]. linear structures

[2]. response

[3]. deterministic approach

[4]. nondeterministic approach

[5]. prescribed dynamic loading

[6]. random dynamic loading

[7]. strain

[8]. simple harmonic

[9]. discretization

[10]. lumped mass

[11]. partial differential equation

[12]. dynamic degrees of freedom

[13]. generalized displacements

[14]. amplitude

[15].coordinates

[16]. shape function

[17]. finite element

[18]. nodal point

[19]. interpolation

[20]. hermitian

[21].uncoupled

[22]. direct equilibration

[23]. change of momentum

[24].d alemberts principle

[25]. elastic constraints

[26]. virtual displacements

[27]. variational form

[28]. Hamiltons principle

[29]. finite regions

[30]. single degree of freedom.

[31]. discrete system.

[32]. multi degree of freedom mode superposition method.

[33]. distributed properties

[34]. random vibrations

[35]. physical properties

[36]. flexibility

[37]. sliffness

[38]. damping

[39]. rigid

[40]. viscos damping

[41]. damping constant

http://daneshjooqom.4kia.ir/