ریاضی فیزیک

نگرش کلی:

فیزیک علمی استکه قوانین حاکم برجهانطبیعت را بصورت مدون بیان می کند. بنابراین برای ارائه این قوانین بصورتمعادلات و روابطریاضی ، لازم استکه یک فیزیکدان باید بااصول و قوانین اساسی ریاضیآشنا باشد.

التبه در بعضی از علوم دیگر مانندشیمی نیز این ضرورتاحساس می شود، ولی اغراق آمیز نیست بگوییم کهریاضیات بعنوان الفبایفیزیک می باشد. این ضرورت سبب شده است که درسی تحت عنوان روشهای ریاضی در فیزیک ایجاد شود.

ضرورت با هم بودن ریاضی و فیزیک:

اگرتاریخچه پیدایش علومرا مورد توجه قراردهیم. ملاحظه می گردد که فیزیک در ریاضی معمولا پا به پای هم گسترش و رشد یافتهاند. و اکثر فیزیکدانان قدیمی ، ریاضیدان نیز بوده اند. بعنوان مثال بهاسحاقنیوتن ،گالیله ودیگران اشاره کرد. علاوه بر این هر مبحث فیزیک را مد نظر قرار دهیم، ملاحظه می کنیمکه به نوعی دریایی از ریاضیات در آن وجود دارد.

به فرض اگر مبحثسینماتیکحرکت را مورد توجه قرار دهیم، خواهیم دید که اگر بخواهیمسرعت و یاشتاب را تعریف کنیم،بایستی با قوانین مشتقگیری آشنا باشیم تا بتوانیم بگوییم کهمشتق مکاندر هر لحظه برابرسرعت لحظه ایو مشتق سرعت در هر لحظه ،شتاب لحظه ایخواهد بود.

اولین قدم در ریاضی فیزیک:

اولین گام در مطالعه ریاضی فیزیک ،آشنایی باآنالیزبرداری است. چون مفاهیم برداری نقش اساسی را درفیزیک بازی میکند. یعنی زمانی که یککمیتفیزیکی را تعریف می کنیم، ابتدا باید به آنالیز برداری مراجعه کرده و تکلیف اینکمیت را از لحاظبرداری ،اسکالربودن مشخض کنیم، تا بعد بتوانیم خواصو ویژگیهای این کمیت را بیان کنیم .

آینده ریاضی فیزیک:

امروزه با پیشرفتعلوم کامپیوتریکه توانایی انجام محاسباتبسیار پیچیده ریاضی را در زمانهای بسیار کوتاه دارند، بیشتر فعالیتها در راستایاستفاده هر چه بیشتر ازرایانه برای حل معادلات ریاضی ، محاسبات طولانی ریاضی ، قرار دارد. به عبارت دیگر پیشرفتعلوم ریاضیبویژه ریاضی فیزیک با پیشرفتعلوم کامپیوتری همسو شده است

کمیت فیزیکی

دید کلی

هر چیز که قابل افزایش و کاهش باشد و نیز بتوان تساوی میان دومقدار از آن را به دقت بیان کردکمیت فیزیکیاست. در واقع سنگ بنای علم فیزیک کمیت فیزیکی است. و ما برای بیان قوانین فیزیک ازآنها استفاده می‌کنیم، مثلطول،جرم،نیرووحجم،یک کمیت فیزیکی مانندجرمرا وقتی می‌توان تعریف کرد که برایاندازه‌ گیری آن واحدی مانندکیلوگرمدر نظر گرفته شود.

تعدادکمیتهای فیزیکی آنقدر زیاد است که مرتب کردن آنها مساله مشکلی است و این کمیتهامستقل از هم نیستند. از میان تمام کمیتهای فیزیکی ممکن است چند کمیت را مشخص کنیم وآنها راکمیت اصلیبنامیم و بقیه کمیتها را از این کمیتهای اصلی بدست آوریمو برای هر یک استانداردی در نظر بگیریم، مثلا اگر طول را کمیت اصلی انتخاب کنیم، قدرا به عنوان استاندارد آن در نظر می‌گیریم.

یکای (واحد) اندازه گیری

یکی از جنبه‌های مشترک بین همه اندازه گیری وجودیک یکای اندازه گیری است. مقدار کمیت مورد نظر چند برابر کمیتی است که از همان جنسکه به عنوان مقیاس انتخاب شده ، این مقیاس رایکا (یاواحد) آن کمیتمی‌نامند. دانشمندان برای آنکه رقمهای حاصل از اندازه گیریهای مختلف یک کمیت باهممقایسه پذیر باشند، در نشستهای بین المللی توافق کرده‌اند که برای هر کمیت یکایمعینی تعریف کنند. یکای هر کمیت باید به گونه‌ای انتخاب شود که در شرایط فیزیکیتعیین شده تغییر نکند و در دسترس باشد، مجموعه یکاهای مورد توافق بین المللی را بهاختصار یکای SI می‌نامند.

کمیت اصلی و فرعی

• کمیت اصلی: آن دسته از کمیتهایی را که یکاهای آنها بطور مستقل تعریفشده‌اند کمیت اصلی ، یکاهای آنها را یکاهای اصلی می‌نامند.
• کمیت فرعی: کمیتهای از قبیل مساحت ، حجم ، کمیتی است که به یک یا چندکمیت اصلی وابسته است.

کمیت اسکالر و برداری

• کمیتبرداری: کمیت برداری کمیتی است که برای بیان آن علاوه بر انداره باید راستا، جهت و نقطه اثر آن نیز در دست باشد، مانند: نیرو ،شتاب ،شدت میدان الکتریکی،اندازه حرکت،گشتاور نیرو، تغییر مکان و ... .
• کمیت اسکالر: به کمیتی گفته می‌شود کهبا یک عدد و یکیکابطور کامل مشخص می‌شود و از اینرو فقط دارای بزرگیهستند. کمیتهای اسکالر ،کمیتهای نرده‌اینیز نامیده می‌شود. سایر کمیتهاینرده‌ای طول ، زمان ،چگالی ،انرژی ،دما ، پتانسیل و ... .

نحوه نمایش کمیت برداری و اسکالر

• کمیت برداری: کمیتهای برداری را با پاره خط جهتدار (پیکان) نمایشمی‌دهند. پیکان را هم جهت با بردار و طول آنرا متناسب با بزرگی بردار در نظرمی‌گیرند () مانند d ، بزرگی یک بردار را توسط یک خط قائم که در دو طرف نماد آن بردارمی‌گذارند مانند׀ d ׀و یا با نماد بدون پیکان مشخص می‌کنند d.
  <BR< b>>
• کمیت اسکالر: کمیت اسکالر عدد است و نیازی به نحوه نمایش ندارد.

جمع برداری

برای یافتن برآیند دو بردارومی‌توانیم از یکنقطه دو بردار به ترتیب برابر بردارهایورسم کنیم، سپسمتوازی الاضلاع را که این دو بردار ، دو ضلع مجاور آن را تشکیل می‌دهد کامل کنیم،بردار برآیند قطری از متوازی الاضلاع است که نقطه شروع دو بردار را به رأس روبرووصل می‌کند. این قاعده متوازی الاضلاع برای جمع بردارها است.

تفریق بردای

برای بدست آوردن تفریق دو بردار نخست دو بردارورا از یک نقطهرسم می‌کنیم. برداری که ابتدای آن بر انتهای بردارو انتهای آن برانتهای بردارمنطبق باشدبردار حاصله است.

ابعاد کمیت

منظور از ابعاد یک کمیت فرعی ، رابطه آن با کمیت اصلی تشکیلدهنده آن است. در واقع می‌توان گفت که منظور از ابعاد یک کمیت معرفی آن کمیت از نظرماهیت طبیعی آن است. برای این منظور در مکانیک ابعاد سه کمیت اصلیطول،جرموزمانرا به ترتیب با M ، L و T نشان می‌دهند

 

جبر برداری

مجموع اعمال ریاضی شامل جمع ، ضرب ، مشتق ، انتگرال و... که بر رویبردارها انجاممی‌شود، بر اساس قواعد و اصول خاصی قابل اجراست. مجموعه این قوانین در مبحثی تحتعنوان جبر برداری مورد بحث قرار می‌گیرند

اطلاعات اولیه

بحثحرکتدر دو یا سه بعد با وارد کردن مفهومبردار بسیار ساده می‌شود. یک بردار از نظر هندسی به صورتکمیتیفیزیکی تعریف می‌شود که بوسیله اندازه و جهت در فضا مشخص می‌شود. به عنوان مثالمی‌توان بهسرعت ونیرو اشاره کرد که هردو کمیتی برداری هستند. هر بردار را با یک پیکان که طول و جهت آن نمایشگر اندازه وجهت بردار است، نمایش می‌دهند. جمع دو یا چند بردار را می‌توان بر اساس راحتی کاربا استفاده از روشهای متوازی الضلاع یا روش تصاویر که در آن هر بردار را بهمولفه‌هایش در امتداد محورهای مختصات تجزیه می‌کنند، انجام داد.

ضرب بردارها

ضرب بردار در حالت کلی به دو صورتضرب نقطه‌اییا عددی و ضرب برداری انجاممی‌شود. در ضرب عددی یا اسکالر یا نقطه‌ای که با نماد A.B نمایش دادهمی‌شود، حاصضرب برابر با است با حاصضرب اندازه یک بردار در اندازه تصویر بردار دیگربر روی آن. طبیعی است که اگر دو بردار بر هم عمود باشند، حاصضرب آنها صفر خواهدبود. اما در ضرب برداری که بصورت A×B نمایش داده می‌شود، نتیجهحاصضرب ، برداری است که جهت آن با استفاده ازقاعده دست راستتعیین می‌شود و اندازه آن باحاصضرب اندازه دو بردار در سینوس زاویه بین آنها برابراست. ضرب برداری علاوه بر دوحالت فوق می‌تواند بصورت مختلط نیز باشد. به عنوان مثل اگر C , B , A سه بردار دلخواه باشند در این صورت می‌توان ضربهایی به شکل A.B×C یا A×B×C نیز تشکیل داد. اما همواره باید توجه داشته باشیم که نتیجهحاصلضرب اسکالر یا عددی یک عدد است در صورتی که نتیجه حاصلضرب برداری یک بردار است.

قاعده دست راست

قاعده دست راست که در بیشتر مسائل فیزیک که با بردارها سرو کار دارند مطرح است، به این صورت بیان می‌شود. فرض کنید A و B دو بردار دلخواهی هستند که به صورت برداری در یکدیگر ضرب می‌شود. برای تعیین جهت بردار حاصضرب کافی است چهار انگشت دست راست را در راستای بردار اولقرار داده و بوسیله چهار انگشت خود این بردار را بطرف بردار دوم بچرخانیم، در اینصورت جهت انگشت شست دست راست در راستای بردار منتجه خواهد بود

مشتق گیری برداری

برایمشتق گیری برداریقواعد خاصی وجود دارد کهبه صورت زیر اشاره می‌شود.

1. مشتق جمع دو یا چند بردار با مجموع مشتقات تک تک آنها برابر است.
2. مشتق حاصضرب دو بردار (خواه اسکالر خواه برداری) برابر است با مجموع دو جمله ،که جمله اول شامل حاصضرب مشتق بردار اول در خود بردار دوم و جمله دوم برابر باحاصضرب خود بردار اول در مشتق بردار دوم است. بدیهی است که مشتق حاصلضرب چندینبردار نیز به همین صورت تعریف می‌شود. یعنی به تعداد بردارهایی که در هم ضربمی‌شوند، جمله وجود دارد و در هر جمله مشتق یک بردار وجود دارد. علاوه بر اینمشتقات مراتب بالاتر (مشتق دوم و بیشتر) نیز به همین صورت انجام می‌شود.

انتگرال گیری برداری

در حالت کلی سهبعدی دو نوع تابع می‌توان در نظر گرفت. توابع نقطه‌ای اسکالروتوابع نقطه‌ای برداری. به عنوان مثالتابعانرژی پتانسیل یک تابع نقطه‌ای اسکالر است، در صورتی کهشدتمیدان الکتریکی یک تابع نقطه‌ای برداری است. همچنین انتگرال گیری نیز می‌تواندبه سه صورت خطی ، سطحی و حجمی صورت گیرد. در حالت اول انتگرال گیری بر روی یک منحنیصورت می‌گیرد. اما در حالت دوم انتگرال گیری روی یک سطح و سرانجام در حالت چهارمروی یک حجم صورت می‌گیرد. نکته قابل توجه در اینجا این است که انتگرال گیری با توجهبهتقارنموجود و نیز نوع تابع مسئله درسیستمهای مختصاتی مختلف انجام داد. به عنوان مثال اگر مسئله مورد نظر ما دارایتقارن کروی باشد بهتر است کلیه انتگرالهایی که در مسئله مورد نیاز است درسیستم مختصات کرویانجام دهیم.

 

آنالیز برداری

اطلاعات اولیه

بیشتر کمیات فیزیکی که درفیزیک وعلوم مهندسیبا آنها مواجه می‌شویم، به دوصورت اسکالر (نرده‌ای) و برداری هستند. یککمیت اسکالرتنها با بیان بزرگی و همراه بایکای خود ، اگر داشته باشد، کاملا مشخص می‌شود. به عنوان مثال جرم یک کمیت اسکالراست که با مقدار و یکایش که کیلوگرم است، کاملا مشخص می‌گردد. دسته دیگری از کمیات،کمیات برداریهستند که علاوه بر مقدار و یکادارای جهت نیز هستند.

به عنوان سرعت و شتاب نمونه‌هایی از کمیتهای برداریهستند. کمیتهای برداری از قواعد جبر برداری پیروی می‌کنند و علاوه بر آنهندسه ،دیفرانسیلوانتگرال که در نمایش ریاضی کمیتهای فیزیکی ، نقش بسیار مهمی‌دارد، نیز ضروری است. کلید اینمباحث در مطالبی تحت عنوان آنالیز برداری که به مفهوم تحلیل و بررسی مسائل مربوط بهبردارهاست، مورد بحث قرار می‌گیرد.

نمایش کمیاب برداری

گفتیم که هر کمیت برداری علاوه بر مقدا و یکا با جهتنیز مشخص می‌شود، از نظر ترسیمی ، یک بردار با یک پاره خط و یک پیکان در یک انتهایآن نمایش داده می‌شود. طول پاره خط تقریبا متناسب با بزرگی کمیت برداری است، پیکانجهت کمیت برداری را نشان می‌دهد. به عنوان مثال اگر A یک کمیت برداری باشد، در اینصورت نمایش داده می‌شود.

تساوی بردارها

دو بردار را در صورتی مساوی می‌گویند که بزرگی و جهت آن دوبا هم برابر باشند. به عبارت دیگر برای تساوی دو بردار علاوه بر اینکه باید اندازهیا بزرگی آنها با هم برابر باشد، باید هم جهت نیز باشد.

ضرب بردارها

بردارها معمولا به دو صورتمی‌توانند در هم ضرب شوند. این دو به نامهایضرب داخلییا عددی وضرببرداریمعروف هستند.

ضرب عددی

ضرب عددی دو بردار B و A با نماد B.A نمایش داده می‌شود و حاصلآن برابر است با حلصضرب بزرگی دو بردار در کسینوس زاویه بین آنها از آنجا که90 Cos برابر صفر است، لذا می‌توان گفت که اگر حاصضرب عددی دو بردار برابر صفر باشد در اینصورت این دو بردار بر هم عمودند.

ضرب برداری

ضرب برداری دو بردار دلخواه B,A بصورت A×B نشان داده می‌شود ومقدار آن برابر است با حاصضرب بزرگی دو بردار در سینوس زاویه بین آنها. همچنینمی‌دانیم که سینوس صفر یا 180 درجه صفر است، بنابراین دو بردار موازی باشند، در اینصورت حاصل ضرب برداری آنها صفر خواهد شد.

جمع و تفریق برداری

برای جمع دو برداربه روش تحلیل قواعد مختلفی وجود دارد که در اینجا به چند نمونه اشارهمی‌شود.

• روش متوازی الاضلاع: فرض کنید بخواهیم دو بردار دلخواه را با هم جمعکنیم. برای اینکار مبدا مختصات را بر ابتدای یکی از این بردارها منطبق فرض می‌کنیم،حال از ابتدای همین برداری ، بردار دیگری به موازات بردار دوم و درست برابر بااندازه آن (بزرگی اش با آن برابراست رسم می‌کنیم. حال از انتهای بردار اول برداردیگری دقیقا موازی بردار اول و به اندازه آن رسم می‌کنیم. به این ترتیب یک متوازیالاضلاع حاصل می‌شود. قطری از متوازی الاضلاع که ابتدای آن بر ابتدای دو برداراولیه منطبق است، بردار حاصل جمع بردار اولیه خواهد بود.
• روش تجزیه: در این روش که بیشتر مورد استفاده قرار می‌گیرد، کار به اینصورت است که یک سیستم مختصات با محورهای X,Y,Z در نظر می‌گیریم. از ابتدای مختصاتبردارهایی دقیقا در راستای بردارهای اولیه و درت به اندازه آنها رسم می‌کنیم.حال هربردار درمحورهای مختصاتبه مولفه‌هایش تجزیهمی‌کنیم. به این ترتیب سه معادله می‌توانیم بنویسیم. هر معادله با مجموع مولفه‌هادر راستای یک محور با توجه به علامت آنها (که بسته به جهت مولفه تعیین می‌شود) نوشته می‌شود.
  
  به این ترتیب هر سه مولفه بردار حاصل جمع حاصل می‌شود. برایتعیین جهت بردار حاصل جمع باید از روش هندسی و روشهای مثلثاتی کرده و مقدارزاویه‌ای را که بردار حاصل جمع با محورها می‌سازد، تعیین کنیم. حسن این روش در ایناست که علاوه بر دو بردار می‌توان حاصل جمع چندین بردار را براحتی تعیین کنیم.

تفریق دو بردار

تفریق دو بردار را نیز می‌توان با استفاده از قاعده جمعبرداری مشخص نمود. به عنوان مثال اگر بخواهیم حاصل A-B را تعیین کنیم، بردار A رابا بردار B - که برداری به اندازه B و در خلاف جهت آن است، جمع کنیم

 

ماتریس

در ریاضیات ماتریس عبارت است یک جدول مستطیلی ازاعداد و یا به صورت ساخت یافته‌تر: ماتریس مجموعه‌ای از اشیای هم نوع است که بهتعدادی گروه با اعضای یکسان تقسیم بندی شده است. ماتریسها ریاضیات مناسبی برای ثبتو ذخیره داده‌هایی هستند که مقادیر آنها به دو کمیت بستگی دارد. از این جهت چون دراکثر علوم با چنین داده‌هایی روبرو می‌شویم. بنابراین کاربرد وسیع ماتریسها در اکثرشاخه‌های علوم مهندسی می‌شود

ماتریس عبارت است از آرایشی (آرایه‌ای) مستطیل شکل ازاعداد مختلطبه طوری که عناصر این آرایه رادرایه می‌نامیم و عنصر واقع در سطرام و ستونام را با نمادنشانمی‌دهیم.
ماتریسی که دارایسطر وستون باشد راماتریس از مرتبهدرمی‌نامیم.( )

نکته

هرگاهآنگاه ماتریس رامربع از مرتبهمی‌نامیم.
یک ماتریسرا بصورتنمایش می‌دهیم.

 

تاریخچه

مطالعه روی انواع خاصی از ماتریسها مانندمربعهای جادوییومربعهای لاتین، به تاریخ قبل از میلاد نسبتداده شده است. معرفی و تکامل نمایش ماتریسها به عنوان شاخه‌ای ازجبر خطیدر نتیجه مطلعه روی ضرایب سیستممعادلات خطی و الگوها و روشهای حل آنها بوجود آمد. لایب نیتسبه عنوان یکیاز پایه گذاران علم حسابان در سال 1693، دترمینان ماتریسها را معرفی کرد.

در ادامهکرامرروش خود را برای حل دستگاه معادلات خطی بر اساسدترمینان ماتریس ضرایب دستگاه معرفی کرد. این روش که به روش کرامر مرسوم است، براساس استفاده صریح از دترمینان ماتریس ضرایب معرفی گردیده است. در مقابل اولیناستفاده ضمنی از ماتریسها توسطلاگرانژ برای تعیین ماکزیمم و مینیممتوابع چند مقداریمورد استفاده قرار گرفت. در ادامهگاوسروش حذفی خود را برای حل مسائل کمترینمربعات که کاربردهای بسیار وسیعی درعلومسماوی وژئودوزیدارد را معرفی کرد.

 

روابط بین ماتریس‌ها

تساوی دو ماتریس

دو ماتریسومساوی اند اگر وفقط اگر(هممرتبه باشند) و

جمع دو ماتریس

اگروآنگاه

قرینه ماتریس

اگرآنگاه قرینهرا بصورتزیر تعریف می‌کنیم:

ضرب اسکالر در ماتریس

اگرویک اسکالر باشدآنگاه
در ضرب اسکالر یک عدد در یک ماتریس ضرب می‌شود. در این نوع ضرب تمامی عناصرماتریس در آن عدد ضرب می‌شوند به عنوان مثال:

و نمایش ریاضی آن به صورت زیرمی باشد:

cA)_ij = c(A)_ij)

ضرب ماتریس‌ها

اگروآنگاه ضرب دوماتریس را با علامتنمایش داده وبصورت زیر تعریف خواهیم کرد:

دراین نوع هر دو ضرب شونده و ضرب کننده از نوع ماتریس می‌باشند. بطور مشابه ضرب دوماتریس نیز باید یک جنبه خوش تعریفی داشته باشد. ضرب دو ماتریس داده شده A و B زمانی خوش تعریف است که تعداد ستونهای ماتریس ضرب کننده با تعداد سطرهای ماتریس ضربشونده برابرباشند. بر این ضرب دو ماتریس که شرایط قابل ضرب بودن را داشته باشند بهصورت زیر بیان می‌شود:

برای بدست آوردن عنصر روی سطر iام و ستون y امماتریس خاصل ضرب عناصر روی سطر iام ماتریس ضرب کننده و عناصر روی ستون j ام ماتریسضرب شونده را در نظر گرفته و آنها در هم ضرب و جمع می کنیم. به صورت ریاضی حاصلضربدو ماتریس بصورت زیر نمایش داده می شود:

A × B)_ij = (A)_i1(B)_1j + (A)_i2(B)_2j + ... + (A)_in(B)_nj)

بطور ساده‌تر می‌توانماتریس ضرب کننده را به صورت مجموعه ای از بردارهای نظری و ماتریس ضرب شونده را بهصورت مجموعه‌ای بردارهای ستونی در نظر گرفت.

انواع ماتریس

ماتریس صفر

ماتریسی که تمام درایه های آن صفر باشد را ماتریس صفرنامیده و ماتریس صفر از مرتبهرا با نمادنمایش می‌دهیم وداریم

ماتریس همانی

ماتریس مربعاز مرتبهرا همانی گوییمهرگاهوبهازای هرداشته باشیم

ماتریس اسکالر

اگریک اسکالر وماتریسهمانی از مرتبهباشد آنگاهرا ماتریساسکالر می‌نامیم.

ماتریس وارون پذیر

ماتریس مربعرا وارون پذیرمی‌نامیم هرگاه ماتریس مربعیافت شود بهطوری که.دراین صورترا وارونمی‌نامیم.

ماتریس قطری

ماتریس مربعیرا قطری نامیمهرگاه عناصر روی قطر اصلی همگی غیر صفر باشند و عناصر غیر از قطر اصلی صفر باشند.

 

چند خاصیت از ماتریس ها

اگرسه ماتریسودو اسکالر باشندآنگاه:

 

 

 

 

 

 

 

اگرآنگاه

اگرآنگاه

اگرانگاه

در حالتکلی ضرب ماتریس‌ها خاصیت جابجایی ندارد.(حتی اگرتعریف شده باشندو این در حالتی ممکن است کهدو مربع هممرتبه باشند.)

 

فضای برداری

یک فضای برداری (فضای خطی) متشکل است از:
1.میداناز اسکالرها
2.یکمجموعهاز اشیا به نامبردار
3.یکعملجمع برداریبررویبه طوری که بهازای هرمتعلق بهآنگاهدروجود داشتهباشد و
الف.

ب.

ج.

(که درآنمنحصربه فرد است.)
د.

4.عملضرب موسوم بهضرب اسکالربه طوری که به ازای هرمتعلق بهومتعلق بهعضوی ازباشد وداشتهباشیم:
الف.

ب.

ج.

د.

در اینصورت گوییمیک فضای برداری روی میداناست.

قضیه (1)

فرض کنیمیک فضای برداریبر روی میدانباشد در اینصورت:
1.

2.

3.اگرآنگاهیا
4.

5.

(که درآنمنحصربه فرد است.)

 

زیر فضا

فرض کنیمیک فضای برداریبر روی میدانباشد در اینصورت اگرهمراه با دو عمل جمع برداری رویو ضرب اسکالرتشکیل فضای برداری دهد آنگاه گوییمزیرفضای برداریاست.

 

لم

برای اثبات زیر فضای برداری کافی است بخش های زیر ثابت شود:
1.بسته بودن نسبت به جمع برداری
2.وجود بردار صفر در
3.وجودقرینه هر برداردر
4.بسته بودننسبت به ضرب اسکالر

 

قضیه (2)

یک زیر مجموعه غیرتهیاززیرفضاست اگر وفقط:

 

 

قضیه (3)

فرض کنیمیک فضای برداریبر روی میدانباشد دراینصورتاشتراکهر دسته دلخواه (نامتناهی) اززیرفضاهایزیرفضاست