مرکز دانلود خلاصه کتاب و جزوات دانشگاهی

فهرست

1) طبیعت معادلات دیفرانسیل و حل آن

2) معادلات جداشدنی

3) معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول

4) معادلات همگن

5) معادلات همگن با ضرایب ثابت و روش ضرایب نامعین

6) روش تغییر پارامتر

7) معادلات مرتبه دوم

8) تبدیل لاپلاس و کاربرد آن در حل معادلات دیفرانسیل

9) سری فوریه و انتگرال فوریه forier series

10)تبدیل فوریه

11)معادلات با مشتقات جزئی

12)حل معادلة موج و انتشار گرما با استفاده از روش تغییرمتغیرها

13)مشتق توابع مختلط

14)توابع هذلولی و لگاریتمی

15)توابع مثلثاتی معکوس

 

 

ادغام دو درس دیفرانسیل وریاضی مهندسی

نحوة ارزشیابی

1- امتحان میان ترم اول 5 نمره

2- امتحان میان ترم دوم 5 نمره

3- تحویل تمرینات 1 نمره

4- امتحان پایان ترم 9 نمره

5- نمره تشویقی 1 نمره (به ازای هر جلسه غیبت 2/0 کسر می گردد)

کتاب معادلات دیفرانسیل بویس

معادلات دیفرانسیل نیکوکار

 

معادلات دیفرانسیل:

ارتباط بین یک تابع و مشتقات آن را معادلة دیفرانسیل می نامیم و فرم کلی معادلات دیفرانسیل به صورت بالاست.

F=ma

=yمکان

سرعت

شتاب

معادله دیفرانسیل f=kx

Y=Asinwt

1,3

مرتبة معادلة دیفرانسیل: مرتبة هر معادلة دیفرانسیل مرتبة بزرگترین مشتق آن معادله دیفرانسیل است.

مثال) مرتبة معادلات دیفرانسیل زیر را مشخص کنید.

3 (1

حل معادلات دیفرانسیل مرتبة اول : فرم کلی معادلات دیفرانسیل مرتبة اول به صورت می باشد . حل این معادلات را وقتی که =f(x,y)yَ باشد یا باشد . بررسی می کنیم.

1- معادلات تفکیک پذیر : اگر در معادلات دیفرانسیل به فرم =f(x,y)yَ داشته باشیم که در آن f(x) تنها تابعی از x و f(y) تنها تابعی از y باشد. حل این معادلات به صورت زیر خواهد بود.

چون هدف از حل معادلة دیفرانسیل تعیین مقدار y است باید از طرفین معادله انتگرال گیری نمائیم.

مثال) معادلات دیفرانسیل زیر را حل کنید.

(1

 

 

(2

 

 

(3

 

معادلاتی که به فرم هستند را می توان با تغییرمتغیر زیر تبدیل به فرم متغیرهای از هم جدا نمود. برای اینکه آن ها را حل کنیم:

مثال) معادلة دیفرانسیل زیر را حل کنید:

(1

 

 

 

جواب

(2

 

 

 

 

معادلات همگن: تابع f(x,y) را همگن از درجة n می گوئیم هر گاه

مثال) درجة همگنی تابع زیر را بدست آورید.

درجه همگن =3

(2

درجه همگنی=0

هر معادلة دیفرانسیل به فرم را که در آن هر دو از درجة n باشند یک معادلة دیفرانسیل همگن از درجة n می نامیم.

نکته : برای حل معادلات دیفرانسیل همگن از تغییر متغیرهای زیر استفاده می کنیم.

متغیرهای روبرو معادلة دیفرانسیل همگن را به گونه ای تغییر می دهند که به کمک استفاده از روش متغیرهای از هم جدا قابل حل باشد.

مثال) معادلة دیفرانسیل زیر را حل کنید.

(1

معادله همگن است.

 

(2

همگن از درجة 1

 

 

معادلات به فرم همگن نمی باشند ولی قابل تبدیل به معادلات همگن هستند. برای تبدیل چنین معادلاتی به معادلات همگن باید دو خط را به مبدأ انتقال دهیم یا مبدأ مختصات به مبل تلاقی دو خط منتقل کنیم . برای حل ابتدا محل تلاقی دو خط یعنی (x₀,y₀) را پیدا می کنیم و سپس باتغییر متغیرهای x=X+x₀ و y=Y+y₀ معادله را به فرم همگن تبدیل می کنیم. پس از اینکه معادله همگن شد با تغییر متغیرهای معادلة دیفرانسیل را حل می کنیم.

مثال) معادلة دیفرانسیل زیرا را حل کنید.

(1

X1=0

 

 

درجة همگنی

 

Arcton()-

اگر دو خط موازی باشند از تغییر متغیر u=ax+by و u=ex+hy برای حل معادلة دیفرانسیل استفاده می کنیم.

مثال) معادلة دیفرانسیل زیر را حل کنید.

 

تمرین :

(1

(2

(3

(4

(5

(6

(7

(8

(9

(10

 

معادلات دیفرانسیل کامل:

معادلاتی به فرم p(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 را کامل می نامیم اگر مشتق تابع p نسبت به مشتق g: برای حل معادلات دیفرانسیل کامل جواب را به صورت تابع u(x,y) حدس می زنیم که

(1) یا (2)

روش حل معادلات دیفرانسیل کامل : برای حل معادلات دیفرانسیل کامل از معادلة (1) تابع U را به دست می آوریم در تابع به دست آمده f(y) مجهول است برای به دست آوردن f(y) تابعu به دست آمده را به معادلة اعمال می کنیم.

روش 2: تابع را به دست می آوریم و در تابع به دست آمدهمقدار f(x) مجهول است برای به دست آوردن f(x) تابع u حاصل را به معادلة اعمال می کنیم.

مثال) ثابت کنید معادلة زیر کامل است و جواب آن را به دست آورید.