فهرست مطالب

 

عنوان صفحه

فصل اول: آناليز ديناميكي با استفاده از بردارهاي ريتز وابسته به بار

بخش اول: تحليل ديناميكي.....

مقدمه.....

1-1- اصول اوليه تحليل ديناميكي....

2-1- تعادل ديناميكي....

3-1- روش حل گام به گام..

4-1- روش برهم نهي مدي......

5-1- تحليل طيف پاسخ...

6-1- حل در حوزه فركانس..

7-1- حل معادلات خطي.

بخش دوم: محاسبه بردارهاي متعامد بر جرم و سختي

مقدمه...

1-2- روش جستجوي دترميناني...

2-2- كنترل ترتيب استورم..

3-2- متعامد سازي گرام اشميت.....

4-2- تكرار زير فضاي بلوكي..

5-2- حل سيستمهاي منفرد.......

6-2- ايجاد بردارهاي ريتز وابسته به بار...

بخش سوم: كليات روش LDR......

1-3- روش جداسازي دو مرحله اي در تحليل سازه ها

1-1-3- جداسازي مسائل خطي ديناميكي به وسيله برهم نهي مدي.................................................

2-3- استفاده از بردارهاي ريتز در ديناميك سازه ها................................................................................

1-2-3- روش ريلي براي سيستمهاي تك درجه آزادي......................................................................

3-3- توليد خودكار بردارهاي ريتز وابسته به بار......................................................................................

4-3- تاثير فرمول بندي اجزاي محدود بر ايجاد بردارهاي ريتز وابسته به بار........................................

1-4-3- ماتريس جرم...........................................................................................................................

2-4-3- بردار بارگذاري.......................................................................................................................

1-2-4-3- محتواي فركانسي..........................................................................................................

2-2-4-3- توزيع مكاني.................................................................................................................

بخش چهارم: ارتباط ميان الگوريتم بردارهاي ريتز وابسته به بار و روش Lanczos...........................

1-4- روش Lanczos................................................................................................................................

عنوان صفحه

2-4- خواص اساس بردارهاي ريتز وابسته به بار.....................................................................................

3-4- نكاتي در مورد تعامد بردارهاي پايه ريتز وابسته به بار...................................................................

4-4- تحليل سيستمهاي با ميرايي..............................................................................................................

1-4-4- روند حل براي ميرايي متناسب (با ماتريس سختي).............................................................

2-4-4- روند حل براي ميرايي غير متناسب.......................................................................................

5-4- فلسفه اساسي فراسوي بردارهاي ريتز وابسته به بار........................................................................

بخش پنجم: توسعه تخمين خطا براي بردارهاي ريتز وابسته به بار.......................................................

1-5- تخمين هاي خطاي مكاني براي ارائه بارگذاري..............................................................................

2-5- ارائه بارگذاري به وسيله پايه بردارهاي ريتز وابسته به بار..............................................................

3-5- تخمين هاي خطا با استفاده از مجموع بارهاي ارائه شده...............................................................

4-5- تخمين خطا براساس معيار اقليدسي بردار خطاي نيرو..................................................................

5-5- روشهاي جمع بندي براي آناليز برهم نهي مستقيم بردار...............................................................

1-5-5- روش تصحيح استاتيكي.........................................................................................................

2-5-5- روش شتاب مدي...................................................................................................................

6-5- رابطه ميان بردارهاي ريتز وابسته به بار و حل مقدار ويژه دقيق....................................................

بخش ششم: الگوريتمي جديد براي ايجاد بردارهاي ريتز وابسته به بار................................................

1-6- استقلال خطي بردارهاي ريتز وابسته به بار.....................................................................................

1-1-6- روش Lanczos و مساله از دست دادن تعامد.......................................................................

2-1-6- بردارهاي ريتز وابسته به بار و مساله از دست دادن تعامد....................................................

3-1-6- باز متعامد سازي انتخابي.......................................................................................................

4-1-6- كاربرد كامپيوتري متعامد سازي انتخابي................................................................................

2-6- تنوع محاسباتي الگوريتم بردارهاي ريتز وابسته به بار.....................................................................

1-2-6- بردارهاي ريتز LWYD...........................................................................................................

2-2-6- كاربرد كامپيوتري با استفاده از فرم كاهش يافته سه قطري...................................................

3-6- كاربرد عددي روي سيستمهاي ساده سازه‌اي..................................................................................

1-3-6- حل مثال با استفاده از برنامه CALSAP................................................................................

2-3-6- توضيح مدل رياضي................................................................................................................

3-3-6- ارزيابي گونه هاي محاسباتي الگوريتم ريتز...........................................................................

بخش هفتم: تحليل ديناميكي غيرخطي با برهم نهي مستقيم بردارهاي ريتز..........................................

1-7- منبع و حد رفتار غيرخطي...............................................................................................................

2-7- تكنيك هاي راه حل براي تحليل ديناميكي غيرخطي.....................................................................

3-7- روشهاي انتگرال گيري مستقيم........................................................................................................

عنوان صفحه

4-7- روشهاي برهم نهي برداري..............................................................................................................

5-7- گزينش بردارهاي انتقال براي روشهاي برهم نهي...........................................................................

6-7- خط مشي هاي حل سيستمهاي غيرخطي كلي................................................................................

7-7- خط مشي هاي حل سيستمهاي غيرخطي محلي.............................................................................

بخش هشتم: توصيف فيزيكي الگوريتم ريتز و ارائه چند مثال..............................................................

1-8- مقايسه حل با استفاده از بردارهاي ويژه و بردارهاي ريتز..............................................................

مثال 1:

مثال 2:

مثال 3:

بخش نهم: تحليل ديناميكي با استفاده از بردارهاي ريتز........................................................................

1-9- معادله حركت كاهش يافته................................................................................................................

نتيجه............................................................................................................................................................

مراجع فصل اول.........................................................................................................................................

ضميمه.........................................................................................................................................................

فصل دوم: آناليز استاتيكي فزاينده غيرخطي مودال (MPA)

بخش اول: آناليز استاتيكي فزاينده غيرخطي...........................................................................................

1-1- روندهاي تحليلي...............................................................................................................................

2-1- پيدايش روش غيرخطي استاتيكي....................................................................................................

3-1- فرضيات اساسي...............................................................................................................................

1-3-1- كنترل براساس نيرو يا تغيير مكان.........................................................................................

2-3-1- الگوهاي بارگذاري..................................................................................................................

3-3-1- تبديل سازه MDF به SDF......................................................................................................

4-3-1- تغيير مكان هدف....................................................................................................................

5-3-1- حداكثر شتاب زمين...............................................................................................................

4-1- روش آناليز استاتيكي غيرخطي........................................................................................................

5-1- روش گام به گام در محاسبه منحني ظرفيت....................................................................................

1-5-1- روش گام به گام محاسبه منحني ظرفيت...............................................................................

6-1- محدوديتهاي POA............................................................................................................................

بخش دوم: MPA........................................................................................................................................

1-2-معادلات حركت...............................................................................................................................

2-2- معرفي سيستمهاي مورد بررسي و حركت زمين.............................................................................

3-2- روند تقريبي تحليل...........................................................................................................................

1-3-2- بسط مدي نيروهاي موثر........................................................................................................

2-3-2- ايده اساسي.............................................................................................................................

4-2- روشUMRHA.................................................................................................................................

1-4-2- سيستمهاي خطي....................................................................................................................

2-4-2- سيستمهاي غيرخطي..............................................................................................................

5-2- MPA................................................................................................................................................

1-5-2- سيستمهاي الاستيك...............................................................................................................

2-5-2- سيستمهاي غيرالاستيك..........................................................................................................

6-2- خلاصه MPA...................................................................................................................................

7-2- برآورد روش.....................................................................................................................................

 

فهرست اشكال

عنوان صفحه

شكل 1-1- ايده آل سازي سازه با جرم گسترده.......................................................................................

شكل 1-3- الگوريتم ايجاد بردارهاي ريتز وابسته به بار...........................................................................

شكل 2-3- نيروهاي اينرسي و الاستيك در مقابل فركانسهاي مدي........................................................

شكل 1-4- روش Lanczos.....................................................................................................................

شكل 1-5- مقايسه مقياسهاي مختلف خطا ارائه شده توسط روابط مختلف...........................................

شكل 2-5- الگوريتم تركيب بردارهاي ريتز وابسته به‌ار وتكرار زيرفضا براي حل مساله ويژه عمومي..

شكل 1-6- الگوريتم بردارهاي ريتز وابسته به بار (اصلاح شده).............................................................

شكل 2-6- مدل فرضي سكوي دريايي.....................................................................................................

شكل 3-6- ارائه بارگذاري موج معيار خطاي اقليدسي............................................................................

شكل 4-6- ارائه بارگذاري زلزله معيار خطاي اقليدسي...........................................................................

شكل 5-6- سطح تعامد باقي مانده با استفاده از الگوريتمهاي مختلف....................................................

شكل 6-6- حداكثر خطا در نيروي برشي تير (بارگذاري موج)..............................................................

شكل 7-6- حداكثر خطا در نيروي برشي تير (بارگذاري زلزله).............................................................

شكل 8-6- اشكال مدي براي همگرايي بارگذاري موج...........................................................................

شكل 9-6- اشكال مدي براي همگرايي بارگذاري زلزله..........................................................................

 

فهرست جداول

عنوان صفحه

جدول 1-6- تعداد عمليات لازم براي روندهاي متعامدسازي.................................................................

جدول 2-6- حداكثر خطا در نيروي برشي تير (%) بارگذاري زلزله........................................................

جدول 1-8- درصد خطا (ريتز و ويژه).....................................................................................................

جدول 2-8- مشاركت جرمي (مقادير ويژه).............................................................................................

جدول 3-8- مشاركت جرمي (ريتز).........................................................................................................

جدول 4-8- مشاركت جرمي (مقادير ويژه دقيق)....................................................................................

جدول 5-8- مشاركت جرمي (بردارهاي ريتز).........................................................................................

فصل اول

 

تحليل ديناميكي با استفاده از بردارهاي ريتز وابسته به بار

 

 

 

 

بخش اول:

 

تحليل ديناميكي

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

مقدمه

توسعه و رشد سريع سرعت كامپيوترها و روشهاي اجزاي محدود در طي سي سال گذشته محدوده و پيچيدگي مسائل سازه اي قابل حل را افزايش داده است. روش اجزاي محدود روش تحليلي را فراهم كرده است كه امكان تحليل هندسه، شرايط مرزي و بارگذاري دلخواه را به وجود آورده است و قابل اعمال بر سازه‌هاي يك بعدي، دو بعدي و سه بعدي مي‌باشد. در كاربرد اين روش براي ديناميك سازه‌ها ويژگي غالب روش اجزاي محدود آن است كه سيستم پيوسته واقعي را كه از نظر تئوري بينهايت درجة آزادي دارد، با يك سيستم تقريبي چند درجه آزادي جايگزين نمايد. هنگامي كه با سازه‌هاي مهندسي كار مي‌كنيم غير معمول نمي‌باشد كه تعداد درجات آزادي كه در آناليز باقي مي‌مانند بسيار بزرگ باشد. بنابراين تأكيد بسياري در ديناميك سازه براي توسعة روشهاي كارآمدي صورت مي‌گيرد كه بتوان پاسخ سيستم‌هاي بزرگ را تحت انواع گوناگون بارگذاري بدست آورد.

هر چند اساس روشهاي معمول جبر ماتريس تحت تاثير درجات آزادي قرار نمي‌گيرند، تلاش محاسباتي و قيمت، به سرعت با افزايش تعداد درجات آزادي افزايش مي‌يابند. بنابراين بسيار مهم است كه قيمت محاسبات در حد معقول نگهداشته شوند تا امكان تحليل مجدد سازه بوجود آيد. هزينه پايين محاسبات كامپيوتري براي يك تحليل امكان اتخاذ يك سري تصميمات اساسي در انتخاب و تغيير مدل و بارگذاري را براي مطالعة حساسيت نتايج، بهبود طراحي اوليه و رهنمون شدن به سمت قابليت اعتماد برآوردها فراهم مي‌آورد. بنابراين، بهينه سازي در روشهاي عددي و متدهاي حل كه باعث كاهش زمان انجام محاسبات براي مسائل بزرگ گردند بسيار مفيد خواهند بود.

 

شكل 1-1- ايده آل سازي سازه با جرم گسترده

استفاده از بردارهاي ويژه، براي كاهش اندازة سيستمهاي سازه‌اي يا ارائه رفتار سازه به وسيلة تعداد كمي از مختصات هاي عمومي (تعميم يافته) – در فرمول بندي سنتي – احتياج به حل بسيار گرانقيمت مقدار ويژه دارد.

يك روش جديد از تحليل ديناميكي كه نياز به برآورد دقيق فركانس ارتعاش آزاد و اشكال مدي ندارد توسط ويلسون Wilson يوان (Yuan) و ديكنز (Dickens)(1.17) ارائه شده است.

روش كاهش، بردارهاي ريتز وابسته به بار WYD Ritz vectors) كه D, Y, W (حروف اختصاري نويسندگان)( بر مبناي بر هم نهي مستقيم بردارهاي ريتز حاصل از توزيع مكاني و بارهاي مشخص ديناميكي مي‌باشد. اين بردارها در كسري از زمان لازم براي محاسبة اشكال دقيق مدي، توسط يك الگوريتم بازگشتي ساده بدست مي‌آيند. ارزيابي‌هاي اوليه و كاربرد الگوريتم در تحليل تاريخچه زماني زلزله نشان داده است كه استفاده از بردارهاي ريتز وابسته به بار منجر به نتايج قابل مقايسه يا حتي بهتري نسبت به حل دقيق مقدار ويژه شده است.

در اينجا هدف ما تحقيق در جنبه‌هاي عملي كاربرد كامپيوتري بردارهاي ريتز وابسته به بار، خصوصيات همگرايي و بسط آن به حالتهاي عمومي تر بارگذاري مي‌باشد. به علاوه، استراتژي‌هاي توسعه براي تحليل ديناميكي سيستمهاي غير خطي ارائه خواهد شد. نيز راهنمايي‌هايي براي توسعه الگوريتمهايي براي ايجاد بردارهاي ريتز تهيه شده است.

1-1- اصول اوليه تحليل ديناميكي

تمام سازه هاي واقعي هنگام بارگذاري يا اعمال تغييرمكان به صورت ديناميكي رفتار مي كنند. نيروهاي اينرسي اضافي، با استفاده از قانون دوم نيوتن، برابر نيرو در شتاب مي‌باشند. اگر نيروها و يا تغيير مكانها بسيار آرام اعمال شوند نيروهاي اينرسي قابل صرفنظر كردن مي باشند و يك تحليل استاتيكي قابل انجام است. بنابراين مي توان گفت، تحليل ديناميكي بسط ساده اي از تحليل استاتيكي مي‌باشد.

بعلاوه تمام سازه هاي حقيقي بالقوه داراي درجات آزادي نامحدودي مي باشند. بنابراين بحراني ترين قسمت در تحليل سازه ايجاد مدلي با تعداد درجات آزادي محدود مي باشد كه داراي تعدادي اعضاي تقريباً بدون جرم و تعدادي گره باشد، كه بتواند رفتار سازه را به طور مناسبي تخمين بزند. جرم سازه را مي توان درگره ها متمركز نمود. نيز براي يك سيستم الاستيك خطي خصوصيات سختي اعضاء را مي توان باصحت بسيار خوبي تخمين زد- باتوجه به داده هاي تجربي- هرچند تخمين بارگذاري ديناميكي، اتلاف انرژي و شرايط مرزي مي تواند بسيار مشكل باشد.

با در نظر گيري موارد گفته شده براي كاهش خطاهاي موجود لازم است تحليل هاي ديناميكي متعدد با استفاده از مدلهاي مختلف ديناميكي، بارگذاري و شرايط مرزي به كار گرفته شود و انجام حتي 20 آناليز كامپيوتري براي طراحي يك سازه جديد و يا برآورد يك سازه موجود ممكن است لازم شود.

با توجه به تعداد زيادي آناليزهاي كامپيوتري كه براي يك تحليل ديناميكي نمونه لازم است بايد در كامپيوترها روشهاي عددي مناسبي براي محاسبات به كار رود.

2-1- تعادل ديناميكي

تعادل نيرويي براي يك سيستم چند درجه آزادي با جرم متمركز شده، به صورت تابع زمان را مي توان اين گونه نوشت:

F(t)_I + F(t)_D + F(t)_S = F(t) (1-2-1)

F(t)_I : بردار نيروهاي اينرسي عمل كننده بروي جرم

F(t)_D : بردار نيروي ميرايي لزج، يا اتلاف انرژي مي باشد.

F(t)_S : بردار نيروهاي داخلي تحمل شده توسط سازه

F(t) : بردار بارهاي اعمالي

معادله (1.2.1) برمبناي قوانين فيزيكي قرار دارد و براي هر دو دسته سيستمهاي خطي و غيرخطي معتبر مي باشد.

براي بسياري از سيستمهاي سازه اي تخمين رفتار خطي براي سازه انجام مي گردد تا معادله فيزيكي
(1.2.1) تبديل به گروهي از معادلات ديفرانسيل مرتبه دوم خطي گردد.

(2-2-1)

كه M ماتريس جرم، C ماتريس ميرايي، K ماتريس سختي مي باشند. بردارهاي وابسته به زمان,,, مقادير مطلق تغيير مكان، سرعت و شتاب مي باشند.

براي بارگذاري زلزله F(t) نيروي خارجي برابر صفر مي باشد. حركت اساسي لرزه‌اي سه مؤلفه u(t)_ig مي باشند كه در نقطه اي زير پي ساختمان در نظر گرفته مي شوند. بنابراين مي توانيم معادله (1.2.2) را با توجه به,,,كه كمياتي نسبي (نسبت به مؤلفه‌هاي زلزله) مي باشند بنويسيم.

بنابراين مقادير مطلق تغيير مكان، سرعت و شتاب را مي توان از معادله‌ (1.2.2) حذف نمود.

u(t)_a = u(t) + {r_x} u(t)_xg + {r_y} u(t)_yg + {r_z} u(t)_zg

(t)_a = (t) + {r_x} (t)_xg + {r_y} (t)_yg + {r_z} (t)_zg (3-2-1)

ü(t)_a= ü(t) + {r_x} ü(t)_xg + {r_y} ü(t)_yg + {r_z} ü(t)_zg

كه {r_i} برداري است كه در درجات آزادي جهتي 1 مي باشد و بقيه عناصر آن صفرند.

با قرار دادن اين معادله (3-2-1) در (2-2-1) داريم:

Mü(t) + C(t) + Ku(t) = -M_x ü(t)_xg - M_y ü(t)_yg – M_z ü(t)_zg (4-2-1)

كه

M_i = M{r_i}

روشهاي كلاسيك گوناگوني براي حل معادله (1-4) وجود دارد كه هركدام داراي محاسن و معايب خاص خود مي باشند كه آنها را به صورت خلاصه بيان مي كنيم.

3-1- روش حل گام به گام

عمومي ترين روش تحليل ديناميكي روش افزايشي است كه معادلات تعادل در زمانهاي Dt, 2Dt, 3Dt , … حل مي شوند. كه تعداد زيادي از اينگونه روشهاي افزاينده براي حل وجود دارد. در حالت عمومي اين روشها شامل حل گروه كاملي از معادلات تعادل در هر افزايش زمان مي باشند. در صورت انجام تحليلي غيرخطي ممكن است لازم باشد تا ماتريس سختي سازه را شكل دهي مجدد نماييم.

نيز امكان دارد در هر گام زماني براي رسيدن به تعادل نياز به تكرار داشته باشيم. از ديدگاه محاسباتي ممكن است حل يك سيستم با چند صد درجة آزادي زمان بسياري طلب نمايد.

بعلاوه ممكن است نياز داشته باشيم تا ميرايي عددي يا مجازي را به دستة زيادي از اين راه حلهاي افزايشي براي بدست آوردن راه حلي پايدار اضافه كنيم. براي تعدادي از سازه هاي غيرخطي كه تحت تأثير حركت زمين قرار گرفته اند، روشهاي حل عددي افزايشي لازم مي باشد.

براي سيستمهاي سازه اي بسيار بزرگ تركيبي از برهم نهي مودي و روشهاي افزايشي مي توانند بسيار مؤثر باشند. (براي سيستمهاي با تعداد كمي المانهاي غيرخطي).

4-1- روش برهم نهي مودي

معمول ترين و مؤثرترين رهيافت براي آناليز لرزه اي سازه هاي خطي روش برهم‌نهي‌مودي مي باشد. پس از آنكه گروهي از بردارهاي متعامد برآورد شدند اين روش دستة بزرگ معادلات تعادل را به تعداد نسبتاً كمتري از معادلات ديفرانسيل مرتبه دوم تبديل مي كند كه اين باعث كاهش قابل توجهي در زمان محاسبات مي‌شود.

نشان داده شده است كه حركات لرزه اي زمين تنها فركانسهاي پايين سازه را تحريك مي نمايد.به صورت معمول حركات زلزله در فواصل زماني 200 نقطه در ثانيه ثبت مي گردند. بنا بر اين داده هاي بارگذاري پايه شامل اطلاعات بالاي 50 دور در ثانيه نمي باشند.با توجه به اين مطلب صرف نظر از مودها و فركانسهاي بالاتر معمولاَ باعث ايجاد خطا نمي شوند.

5-1- تحليل طيف پاسخ

روش تحليل برهم نهي مودي اوليه ، كه تنها به سازه هاي الاستيك خطي محدود مي باشد، پاسخ كامل تاريخچة زماني تغيير شكلهاي گره ها و نيروهاي اعضا را به علت حركت زمين ويژه اي بدست مي دهد. استفاده از اين روش دو عيب دارد:

اين روش حجم خروجي بالايي ايجاد مي كند كه اين امر سبب زياد شدن عمليات طراحي به خصوص هنگامي كه بخواهيم نتايج را براي كنترل طراحي به كار بريم مي‌گردد.

تحليل بايد براي چندين زلزله ديگر هم تكرار شود تا اطمينان حاصل گرد كه تمام مدها تحريك شدهاند.

مزاياي محاسباتي قابل توجهي در استفاده از تحليل طيف پاسخ براي پيش بيني تغيير مكانها و نيروهاي اعضاء در سيستمهاي سازه اي وجود دارد. اين روش فقط شامل محاسبة حداكثر مقدار تغيير مكانها و نيروهاي اعضاء با استفاده از طيفي هموار شده است كه ميانگين چندين زلزله است، مي باشد. سپس لازم است براي بدست آوردن متحمل‌ترين مقدار اوج تغيير مكان يا نيرو از روشهاي CQC ، SRSS و يا CQC3 استفاده گردد.

6-1- حل در حوزة فركانس

رهيافت پاية استفاده شده در حل معادلات تعادل ديناميكي در دامنه فركانس بسط نيروهاي خارجيF(t) در قالب عبارات سري هاي فوريه يا انتگرالهاي فوريه مي باشد.

حل شامل عبارات مختلط است كه محدوده زماني¥+ تا ¥- را پوشش مي دهد. بنابراين روشي بسيار كارا براي گونه‌هاي بارهاي تكراراي مانند: ارتعاشات مكانيكي، آكوستيك، امواج دريا و باد مي باشد. هرچند استفاده از حل در حوزة فركانس براي تحليل سازه‌هايي كه تحت تأثير زلزله قرار مي گيرند داراي معايب چندي نيز مي باشد.

فهم رياضيات به كار رفته براي دسته زيادي از مهندسان سازه بسيار مشكل مي باشد. بنابراين مطمئن شدن از صحت حل بسيار مشكل است.

براي نوع بارگذاري لرزه اي اين روش از نظر عددي كارا نمي باشد. انتقال نتايج از حوزه فركانس به حوزة زمان حتي با استفاده از روشهاي FFT مقدار محاسبات عددي قابل توجهي را لازم دارد.

روش محدود به سيستمهاي ساختماني خطي مي باشد.

روش براي حل غيرخطي تقريبي اندر كنش خاك / سازه و پاسخ در ساختگاه بدون توجيه نظري كافي استفاده شده است. به طور مثال، اين روش به صورت، رفتاري تكراري براي ساختن معادلات خطي به كار مي رود، جملات ميرايي خطي بعد از هر تكرار تغيير مي كنند تا استهلاك انرژي در خاك را تخمين بزنند. بنابراين تعادل ديناميكي در خاك ارضا نمي شود.

7-1- حل معادلات خطي

حل گام به گام معادلات ديناميكي، حل در حوزة فركانس و برآورد بردارهاي ويژه و بردارهاي ريتز تماماً احتياج به حل معادلات خطي دارند كه به صورت زير بيان مي‌شود.

AX=B (1-7-1)

كه در اينجا A يك ماتريس N×N متقارن است كه تعداد زيادي جمله صفر دارد. ماتريسهاي B و X كه
"N × M"هستند بيانگر اين مطلب است كه بيشتر از يك حالت بارگذاري در يك زمان قابل حل مي باشد. كه روشهاي متعددي براي كاهش حافظه مصرفي توسط A وحل دستگاه همزمان وجود دارد. (روش حذفي گوس,حل اسكاي لاين و روشهاي بسيار متنوع ديگر كه براي معكوس سازي ماتريسها به كار مي روند از جمله روشهاي:افراز كردن,سه قطري كردن,كاهش ماتريس,روش جوردن و...)

 

بخش دوم:

 

محاسبة بردارهاي متعامد بر جرم و سختي

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

مقدمه

دليل اصلي محاسبة اشكال مدي (يا بردارها و مقادير ويژه) آن است كه آنها براي غيرهمزمان سازي معادلات تعادل ديناميكي به كار مي روند (در تحليل برهم نهي مدي و يا تحليل طيف پاسخ). هدف اصلي تحليل ديناميكي تخمين صحيح تغيير مكانها و نيروهاي اعضاء مي باشد. در حالت كلي رابطة مستقيمي ميان صحت بردارهاي ويژه و مقادير ويژه و صحت تغيير مكانهاي گره هاي سازه و نيز نيروهاي اعضاء وجود ندارد.

در اوايل پيدايش مهندسي زلزله روش ريلي ـ ريتز براي تحليل ديناميكي تقريبي به طور گسترده‌اي مورد استفاده قرار مي گرفت.

با توسعة كامپيوترهاي با سرعت بالا، استفاده از بردارهاي ويژه دقيق جايگزين استفاده از بردارهاي ريتز به عنوان پايه اي براي تحليل لرزه اي شد. در اينجا به روش (LDR) يا بردارهاي ريتز وابسته به بار خواهيم پرداخت و نشان داده مي‌شود كه روش جديد و تصحيح شده ريتز پاسخهايي با صحت بيشتر و انجام اعمال كمتر نسبت به استفاده از بردارهاي ويژه دقيق ارائه مي كند.

در آغاز نگاهي اجمالي به روشهاي برآورد مساله مقدار ويژه مي اندازيم.

1-2- روش جستجوي د ترميناني (Determinant search method)

معادلة تعادل كه بر ارتعاش آزاد يك مد نمونه ناميرا حاكم است به صورت زير نوشته مي‌شود :

يا (1-1-2)

اين معادله را مي توان با فرض _i و فاكتورگيري به صورت زير مستقيماً حل كرد.

(2-1-2)

مي توان نشان داد

(3-1-2)

مي توان با تكرار اين عمل نموداري از دترمينان در مقابلl رسم نمود. (شكل (1-1-2) اين روش كلاسيك براي بدست آوردن فركانسهاي طبيعي سيستم روش جستجوي دترميناني نام دارد.

بايد به اين نكته توجه نمود كه براي ماتريسهاي، با عرض باند كم تلاش عددي لازم بسيار ناچيز مي باشد، براي اين دسته از مسائل استفاده از جستجوي دترميناني به همراه تكرار معكوس روشي بسيار كارامد مي با شد كه مي توان توسط آن فركانسهاي طبيعي سيستم و اشكال مدي را براي سيستمهاي سازه اي كوچك بدست آورد هرچند به دليل افزايش سرعت كامپيوترها سيستمهاي كوچك را با هر روش مي توان به آساني حل نمود بنابراين اين روش در برنامه هاي مدرن كامپيوتري به كار نمي رود.

شكل1-1-2

2-2- كنترل ترتيب استورم (Sturm sequence check)

شكل (1-1-2) خاصيت بسيار مهمي از دنباله عبارات قطري ماتريس فاكتورگيري شده را نشان مي دهد. متوجه مي شويم براي مقدار مشخصي از _i ، مي توان تعداد عبارت منفي در ماتريس قطري را شمرد كه برابر تعداد فركانسهاي كمتر از آن مقدار مي باشد. بنابراين، اين روش مي تواند براي كنترل روشي كه نتوانسته تمام فركانسهاي طبيعي كمتر از مقدار مشخصي را حساب كند به كار رود.

نيز كاربرد مهم ديگر اين روش برآورد تعداد فركانسهاي موجود در بازة خاص فركانسي مي باشد. كه اين مطلب در مسائل ارتعاش ماشين كارآمد مي باشد.

تكرار معكوس

معادله (1-1-2) را مي توان به فرمي مناسب براي روش حل تكراري نوشت داريم:

يا (1-2-2)

گامهاي محاسباتي براي محاسبة يك بردار ويژه يا مقدار ويژه به صورت زير خلاصه مي‌شود.

ماتريس سختي را مثلثي مي كنيم به فرم LDL^T. (در فاز حل بار استاتيكي)

براي اولين سعي فرض كنيم R⁽¹⁾ برداري حاوي اعداد تصادفي باشد و براي بردار اوليه حل كنيم.

براي i=1,2,… سعي مي كنيم.

(a بردار را نرمال مي كنيم به گونه اي كه

(b مقدار ويژه را تخمين مي زنيم كه

(c كنترل براي همگرايي اگر همگرا شد تمام

(di=i+1 و محاسبه

(e حل براي بردار جديد

(f گام 3 را تكرار كنيد.

مي توان ديد كه اين روش به سمت كوچكترين مقدار منحصربه فرد مقدار ويژه همگرا مي باشد.

3-2- متعامدسازي گرام ـ اشميت

بردارهاي ويژه ديگر در روش تكرار معكوس قابل محاسبه اند به شرط آنكه بعد از هر چرخة تكرار، بردار تكرار نسبت به تمامي بردارهاي محاسبه شده قبل متعامد شود. براي نشان دادن اين روش فرض كنيد بردار مفروض `Vموجود مي باشد كه مي خواهيم نسبت به بردار محاسبه شده قبلي V_n متعامد شود. يا بردار جديد مي تواند از رابطة زير حساب شود.

V=`V-aV_n (1-3-2)

اگر اين معادله را در پيش ضرب كنيم بدست مي آوريم .

(2-3-2)

بنابراين شرايط تعامد در صورت برآورده شدن شرط زير ارضا مي‌شود.

(3-3-2)

اگر اين متعامد سازي بعد از گام 3.e در تكرار معكوس قرار گيرد، مقادير ويژه و بردارهاي ويژه اضافي قابل محاسبه اند.

4-2- تكرار زيرفضاي بلوكي ((Block subspace iteration

روش تكرار معكوس با يك بردار در صورت وجود مقادير ويژه و بردارهاي ويژه مشابه ممكن است همگرا نگردد. اين حالت براي بسيار از سازه هاي سه بعدي واقعي با جرم و سختي مشابه در هر دو جهت اصلي ممكن است اتفاق بيافتد.

اين مشكل را مي توان با تكرار بوسيله گروهي (بلوكي) از بردارهاي متعامد برطرف ساخت تجربه نشان داده است كه اندازه بلوك (b) بايد برابر جذر «پهناي متوسط باند ماتريس سختي» قرار داده شود ولي كمتر از 6 نگردد. اين الگوريتم (روش) نسبتاً كند مي‌باشد هرچند بسيار دقيق مي‌باشد.

در حالت كلي بعد از آنكه برداري به بلوك اضافه شد احتياج به 5 تا 10 كاهش به جلو و جاگذاري به عقب مي باشد تا اين روش به بردار ويژه دقيق همگرا شود.

5-2- حل سيستمهاي منفرد

براي انواع كمي از سازه ها، مانند شاتل ها، امكان ندارد كه روش تكرار معكوس يا زيرفضا را به طور مستقيم براي بدست آوردن فركانسهاي طبيعي و اشكال مدي به كار برد. دليل اين امر وجود حداقل شش مد صلب با فركانس صفر مي‌باشد و ماتريس سختي منفرد است و قابل مثلثي كردن نيست. براي حل اين مشكل تنها لازم است كه جابجايي زير در مقادير ويژه انجام شود، يا تغيير متغير بدهيم.

l_n=`l_n-r (1-5-2)

بنابراين مسئله مقادير ويژه تكراري را مي توانيم به صورت زير بنويسيم.

LDL^T `V<sub>n</sub><sup>(i)</sup> = R<sup>(i)</sup> يا `K`V<sub>n</sub><sup>(i)</sup> = `l_n^(i-1)MV_n^(i-1) (2-5-2)

(3-5-2) ماتريس سختي جابجا شده به صورت `K=K+rM مي‌باشد كه ديگر منفرد نمي‌باشد.

بردارهاي ويژه با انتقال دلخواه r دستخوش تغيير نمي شوند بنابراين از رابطة (1-5-2)بردارهاي درستي حاصل مي گردد.

در اينجا بايد ذكر نمود براي حل مسائل مقدار ويژه از روشهاي زير نيز استفاده مي گردد: تكرار پيشرو، تكرار خارج قسمت رايلي و روش تكراري Lanczos ، روشهاي تكراري چندجمله اي و تكنيكهاي دنبالة Sturm، روشهاي تبديل (ژاكوبي)، ژاكوبي تعميم يافته و تكرار معكوس و(Housholders-QR).

6-2- ايجاد بردارهاي ريتز وابسته به بار

تلاش عددي لازم براي محاسبة حل ويژه دقيق براي سيستم سازه اگر تعداد مدهاي زيادي مورد احتياج باشد، بسيار زياد مي‌باشد، هرچند مهندسان زيادي اعتقاد دارند اگر اين تلاش منجربه به حل دقيقي گردد قابل توجيه مي‌باشد.

در اينجا نشان داده مي‌شود كه اين فرض براي محاسبة پاسخ ديناميكي تمامي سيتسمهاي سازه اي ممكن است درست نباشد.

مي توانيم اشكال مدي ارتعاش آزاد را براي كاهش اندازة مسائل خطي و غيرخطي استفاده كنيم. اما به دلايل زير احتمالاً اين كار بهترين رهيافت نمي‌باشد.

1. براي سيستمهاي بزرگ سازه اي، حل مسئله مقدار ويژه براي بدست آوردن مدها و فركانسهاي ارتعاش آزاد تلاش عددي قابل ملاحظه اي لازم دارد.

2. در محاسبة شكلهاي مدي ارتعاش آزاد اصلاً هيچ توجهي به توزيع مكاني، بار نمي‌گردد. بنابراين تعداد زيادي از اشكال مدي محاسبه شده نسبت به بارگذاري متعامد هستند و در پاسخ مشاركت نمي كنند.

و …

اما امكان دارد كه دسته اي از بردارهاي ريتز متعامد نسبت به جرم و سختي، با حداقل تلاش عددي، بدست آوريم كه با هر گونه توزيع بار به سمت جواب درست همگرا گردند.

مي‌توان نشان داد كه يك تحليل ديناميكي كه برمبناي دستة منحصربه فردي از بردارهاي ريتز وابسته به بار قرار دارد به جواب درست تري نسبت به استفاده از همان تعداد اشكال مدي دقيق مي انجامد. در فصل بعد به اين مطلب پرداخته مي شود.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

بخش سوم:

 

كليات روش LDR(Load Dependent Ritz vectors)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1-3- روش جداسازي دو مرحله اي در تحليل سازه‌ها

گام اول در تحليل سازه‌ها با استفاده از اجزاي محدود جداسازي سازه به منظور بدست آوردن مشخصات سختي، جرم و ميرايي سازه براي استفاده در معادلات تعادل ديناميكي (حركت) مي باشد. سپس جداسازي جديدي با استفاده از تركيب توابع شكل عمومي و مستقل خطي، كه از مدلسازي قبلي بدست آمده اند، براي مشخص كردن پاسخ سازه، قابل انجام مي باشد.

روش كاهش دوم براي تحليل استاتيكي خطي جالب توجه نمي باشد زيرا براي اين تحليل تنها يك گام لازم مي باشد. هر چند اين كاهش دوم براي تحليل غير خطي استاتيكي و نيز تحليل خطي و غير خطي ديناميكي كه چندين گام بايد انجام شود و در هر گام سيستمي از معادلات خطي و غير خطي حل شود، مناسب مي باشد.

1-1-3- جداسازي مسائل خطي ديناميكي به وسيلة برهم نهي مستقيم برداري

مطالعة مشخصات تغيير شكل بر اثر بارهاي استاتيكي و تاريخچة زماني پاسخ تعدادي سازة پيچيده آشكار مي سازد تعداد زيادي از درجات آزادي باقي مانده در تحليل ، غالباً توسط توپولوژي ساختمان ديكته مي شود تا توسط پيچيدگي رفتار مورد انتظار. معمولاً هندسة سازه اجازة جداسازي به تعداد كمي المان نمي دهد اما مي توان رفتار را به وسيلة تعداد كمي درجات آزادي مشخص نمود . اين مطلب به طور كلي در مورد مسائل ديناميك سازه مانند تحليل زلزله – كه مطالعات آناليز مودال بر روي محتواي فركانسي و توزيع مكاني تحريك نشان داده اند، پاسخ، با تعداد نسبتا كمي از مودهاي فركانس پايين كنترل مي شود - درست مي باشد. در مورد تحليل تحريكات ارتعاشي، فقط تعداد كمي از فركانسهاي متوسط ممكن است تحريك شوند. هر چند در مورد سيستمهاي تحريك شدة چندگانه (Multi-Shock excited systems) اندر كنش مودهاي مربوط به فركانس‌هاي متوسط و بالا ممكن در طي بازة زماني مورد بررسي اهميت خود را حفظ نمايند. تغيير مبدأ از سيستم مختصات اصلي به سيستمهاي مختصات مودال تعميم يافته كه در فرمول بندي سنتي حل مسائل بزرگ مقدار ويژه مورد نياز است، هنگامي جالب توجه است كه تعداد مودهاي مشاركت كننده نسبت به درجات آزادي اصلي كم باشند.

در حالت كلي روش تحليل اجزاي محدود، كمترين فركانسهاي دقيق را بسيار خوب تخمين مي زند در حاليكه دقت كم يا عدم دقت و صحت براي تقريب شكل مودهاي بالاتر و فركانس‌هاي بالاتر مورد انتظار مي باشد. اين به علت اين حقيقت مي باشد كه مودهاي بالاتر طبيعت بسيار مغتششي دارند كه ارائه آنها توسط اندازة مش بندي عملي انجام شده براي محاسبات مهندسي مشكل مي باشد. بنابراين توجيه كمي براي بكارگيري پاسخ ديناميكي اشكال مودهاي با فركانس بالا، در تحليل وجود دارد. به طور ايده‌آل مش‌هاي اجزاي محدود بايد به گونه‌اي انتخاب شود كه اشكال مودي مربوط به فركانسهاي مهم ارتعاش به بهترين صورت تخمين زده شوند و سپس راه حل را مي توان با در نظر گرفتن پاسخ اين مودها بدست آورد. اين مطلب با تحليل برهم نهي برداري، با توجه به مودهاي مهم سيستم اجزاي محدود، قابل انجام مي‌باشد.

برآورد فركانسهاي طبيعي اشكال مودي براي سيستم‌هاي سازه اي بزرگ احتياج به مقدار قابل توجهي عمليات عددي دارد. هر چند همانطور كه توسط ويلسون و همكاران (29) اشاره شده است، ممكن است اهميت مستقيم اين اطلاعات در مهندسي ارزش محدودي داشته باشد. مقادير فركانسي بيانگر وضعيتهاي محتمل تشديد و اشكال مدي وابسته به فركانسهاي كم نشانگر اين مطلب مي باشند كه كدام قسمتهاي سازه انعطاف پذيرترين قسمتها مي باشند. در اكثر موارد مقادير تقريبي هم مي توانند اين اطلاعات را فراهم كند. در انجام اغلب تحليلها، تنها دليل برآورد بردارهاي ويژة كامل و دقيق به علت استفادة جايگزين آنها براي كاهش اندازة سيستم در يك تحليل بر هم نهي مي باشد.

2-3- استفاده از بردارهاي ريتز در ديناميك سازه‌ها

1-2-3- روش ريلي براي سيستمهاي تك درجة‌ آزادي

ايدة اساسي در روش ريلي كه براي تقريب فركانس ارتعاش يك سيستم تك درجه آزادي استفاده مي شود اصل ثبات انرژي مي باشد. انرژي در يك سيستم با ارتعاش آزاد اگر نيروي ميرايي براي جذب آن وجود نداشته باشد بايد ثابت بماند. بنابراين ماكزيمم انرژي كرنشي در سازة الاستيك بايد برابر ماكزيمم انرژي جنبشي جرم باشد. اين روش قابل اعمال به هر سيستم چند درجه آزادي كه قابل بيان به صورت سيستم تك درجه آزادي توسط استفاده از اشكال تغيير مكاني فرضي ريتز {X} باشد، مي باشد.

(1-2-3)

كه در اينجا

K^*= سختي تعميم يافته:

M^* = جرم تعميم يافته:

= فركانس تقريبي ارتعاش

مي باشند.

در صورت برابر بودن {X} با فركانس حاصل دقيقا برابر فركانس ناشي از حل دقيق مي باشد.

 

2-2-3- تحليل ريلي- ريتز براي سيستمهاي چند درجة‌ آزادي

بسط ريتز از روش ريلي كه به عنوان تحليل ريلي – ريتز شناخته مي شود به طور گسترده اي براي پيدا كردن تقريبي از كوچكترين مقادير ويژه و بردارهاي ويژة متناظر يك مساله ارتعاش آزاد استفاده شده است.

(2-2-3)

كه در اين رابطه [M],[K] ماتريس‌هاي سختي و جرم و بردارهاي ويژه و مقادير ويژه يا مجذور فركانسهاي سيستم مي باشند.

بردارهاي ويژه را مي توان توسط تعدادي تابعهاي سعي مجزاي{X_i} تقريب زد بگونه اي كه

(3-2-3)

كه {X_i}‌ها توابع شكل عمومي از قبل تعريف شده سيستم مختصات اصلي مي باشند كه بردارهاي ريتز ناميده مي شوند و Y_i‌ها دسته اي از پارامترها مي باشند- مختصات هاي ريتز- كه مشخص كنندة سهم مشاركت هر بردار ريتز در حل مي باشند.

بردارهاي ريتز در (اكسترمم) فرم اساسي خارج قسمت رايلي جايگزين مي شوند و دسته از Y_iها، كه مقادير ثابتي بدست مي دهد، جستجو مي گردند. (روند اين كار را مي توان در منابع 3 و 12يافت) باقيمانده رايلي را مي توان به صورت زير نوشت.

(4-2-3)

[K]^* = [X] ^T [K][X]

[M]^* = [X] ^T [M][X]

وضعيت پايدار منجر به حل مساله مقدار ويژه زير مي گردد.

(5-2-3)

بنابراين تقريب بردارهاي ويژه به صورت مي گردد.

مساله مقدار ويژة كاهش يافته ]معادلة (5-2-3)[ باعث رسيدن به r فركانس تقريبي، ، و اشكال مدي متناظر آنها مي گردد، مي توان نشان داد. r مقدار ويژة حاصل از تقريب ريلي ريتز حد بالاي مقادير ويژة ناشي از حل دقيق مي باشند.

روند تراكم استاتيكي، تركيب مؤلفه اي مد، تكرار زير فضا، و ساير روشهاي گوناگون مي توانند به عنوان تحليل ريتز درك شوند. تكنيكها تنها در انتخاب بردارهاي اساسي ريتز كه در تحليل فرض مي شود تفاوت مي كنند.

روند ريتز مي تواند در فرمول بندي اجزاي محدود براي كاهش تعادل ديناميكي استفاده شود. معادلات تعادل ديناميكي براي مدل اجزاي محدود و با در نظرگيري {u} كه بردار تغيير مكان گرهي است به صورت زير نوشته مي شود.

(6-2-3)

كه در اينجا [M] و [C] و [K] ماتريسهاي مربعي n×n براي جرم، ميرايي و سختي هستند و {F(s,t)} بردار بارگذاري ديناميكي تحميل شده بر سازه مي باشد كه تابعي از فضا و زمان مي باشد. علامت نقطه بيانگر مشتق نسبت به زمان مي باشد.

بردار تغيير مكان گرهي را مي توان توسط تركيبي خطي از r بردار مستقل خطي ريتز، كه r بسيار كوچكتر از n است، به صورت زير تقريب زد.

(7-2-3)

كه {X_i} بردارهاي مستقل پايه و Y_i(t) پارامترهاي ناشناخته اي هستند كه از حل يك سيستم كاهش يافته به صورت زير بدست مي آيند.

(8-2-3)

هدف از اين انتقال بدست آوردن ماتريس جديد سختي، جرم و ميرايي يعني [K]^* ، [M]^*و[C]^* است كه در اندازه آنها كاهش داده شده(rxr) و داراي پهناي باند كوچكتري نسبت به ماتريسهاي اصلي سيستم با حفظ صحت مورد نظر مي باشد. بنابراين ماتريس انتقال بايد با توجه به اين مطلب انتخاب گردد كه موفقيت روش به مقدار بسيار زيادي وابستگي به انتخاب صحيح بردارهاي پايه دارد. انواع گوناگوني از اين انتخابها در مقالات پيشنهاد شده اند (2، 7، 3، 23، 24). همانگونه كه توسط نور (Noor) در (23) اشاره شده است دستگاه ايده آل بردارهاي پايه دستگاهي است كه كيفيت نتايج را حداكثر كند و تلاش كلي به دست آوردن آنها را حداقل نمايد.

همانگونه كه قبلا بيان شد، يكي از بهترين روشهاي كاهش شناخته شده براي مسائل ديناميكي خطي «تكنيك برهم نهي مدي» مي باشد كه شامل انتخاب r مود ارتعاش آزاد بدون ميرايي كه حاصل از حل مساله مقدار ويژه به عنوان بردارهاي پايه مي باشد. با اين انتخاب ويژه به سادگي مي توان نشان داد كه ماتريسهاي كاهش يافته[C]^* و[M]^* و[K]^* با فرض ميرايي به صورت كسري از ميرايي بحراني،، به صورت نظري در مي آيند.

(9-2-3)

سيستم كاهش يافته به صورت r معادلة مستقل بدست مي آيد كه هر كدام به تنهايي قابل انتگرال گيري مي باشند. هر چند اين يك شرط لازم براي غير توأمان شدن معادلات ديفرانسيل نهايي در يك روش كاهش نمي باشد.

فقدان عموميت در كدهاي بر مبناي روش ريلي – ريتز به علت سختي موجود در انتخاب توابع كلي مي باشد كه، باعث رسيدن به جوابهايي با درجه اي از صحت مورد انتظار در يك تحليل كامپيوتري مي شوند. اين وضعيت به طور چشمگيري بر محبوبيت استفاده از بردارهاي ويژة دقيق را براي برهم نهي مدي افزوده است. هر چند، ويلسون و همكاران ،الگوريتم عددي ساده اي را براي ايجاد كلاس خاصي از بردارهاي ريتز كه در اينجا به عنوان (WYD Ritz vectors) يا بردارهاي ريتز وابسته به بار ناميده مي شوند را توسعه داده اند كه پاسخهاي با صحت بيشتر و زمان كامپيوتري صرف شدة كمتري نسبت به رهيافت سنتي بردار ويژه براي طيف وسيعي از مسائل مطالعه شده ارائه مي نمايد.

3-3- توليد خودكار WYD Ritz vectors براي تحليل ديناميكي

دنباله بردارهاي وابسته به بار، كه براي كاهش اندازة سيستم به كار مي روند، با در نظر گيري توزيع مكاني بارگذاري ديناميكي، كه در استفاده مستقيم از اشكال مدي در نظر گرفته نمي شوند، محاسبه مي شود.

الگوريتم در فرم حقيقي خود در شكل 1-3 نشان داده شده است. بايد به اين نكته توجه نمود كه بارگذاري ديناميكي {F(s,t)} در معادلة (6-2-3) كه براي مقدار دهي اوليه الگوريتم بازگشتي استفاده شده است،‌ به صورت ضرب بردار مكاني و يك تابع زمان نوشته مي‌شود.

{F(s, t)}={f(s)} g (t)

اولين مقدار بردارهاي ريتز وابسته به بار ،بردار تغيير مكاني است كه از تحليل استاتيكي با استفاده از توزيع مكاني بردار بار ديناميكي، {f(s)} به عنوان ورودي، به دست آمده است. ساير بردارها از ارتباط بازگشتي كه در آن ماتريس جرم در آخرين بردار ريتز وابسته به بار ضرب مي شود به دست مي آيند. سپس بردار حاصله به عنوان بار براي تحليل استاتيكي استفاده مي شود. بنابراين پس از آنكه بردار سختي به صورت مثلثي تجزيه شد، فقط لازم است براي هر بردار ريتز مورد نياز يك بردار بار به صورت استاتيكي تحليل شود. استقلال خطي بردارهاي ريتز وابسته به بار به وسيلة روند تعامد گرام – اشميت حاصل مي شود.

شكل 1-3- الگوريتم براي توليد خودكار بردارهاي ريتز وابسته به بار

(فرمول بندي اوليه و اصلي كه توسط ويلسون، يوان و ديكنز (29) پيشنهاد شده است.

1) ماتريسهاي [M] و [K] و بردار نيرو {f} موجودند.

سايز سيستم

2) تبديل ماتريس سختي به فرم مثلثي

سيستم

3) حل براي اولين بردار

حل براي

M نرمال سازي

i=2,….,r

4) حل براي بردارهاي اضافي

(a) حل براي

(b) j=1,…,i-1 محاسبه براي

(c) M متعامدسازي

(d) M نرمال سازي

 

5) متعامد سازي بردارهاي ريتز وابسته به بار با توجه به ماتريس سختي (دلخواه):

حل براي مساله مقدار ويژه r*r كه داريم.

فركانسهاي تقريبي

محاسبه بردارهاي ريتز وابسته به بار متعامد

تكنيك استفاده شده براي ساختن بردارهاي ريتز وابسته به بار باعث ارتونرمال شدن جرم در ميان بردارها مي گردد به صورتي كه[M]^* در سيستم كاهش يافته (معادلة (8-2-3)) قطري بوده و متناظر با ماتريس هماني مي شود هر چند كه ماتريسهاي[K]* و[C]* در حالت كلي پر مي باشند.

(1-3-3)

بنابراين معادلة (1-3-3) با استفاده از روش گام به گام انتگرال گيري مستقيم و يا با معرفي انتقال اضافي براي كاهش سيستم به يك فرم قطري قابل حل مي باشد.

در حالت وجود نسبت ميرايي حل مساله مقدار ويژه

(2-3-3)

گروهي از مختصات هاي مودي [z] ايجاد مي نمايد كه براي قطري كردن سيستم قابل استفاده مي باشند. مقدار مقادير ويژة دقيق براي سيستم كاهش يافته و مقادير مجذور فركانس‌هاي تقريبي براي سيستم كامل مي باشند.بردارهاي ويژه [z] را مي توان براي ايجاد دستة نهايي بردارهاي ريتز وابسته به بار و متعامد استفاده كرد.

[^▫X] =[X][Z] (3-3-3)

دسته بردارهاي[^▫X] ، نسبت به هر دو ماتريس سختي و جرم در سيستم كامل متعامد مي باشند. بعضي از اين بردارها مي توانند تقريب خوبي از شكلهاي مودي دقيق سازه باشند.

در حالت ميرايي دلخواه، يك حل از مساله مختلط مقدار ويژه در صورتي كه قرار باشد مختصات مودي غير توأمان شوند لازم است. بايد توجه كرد كه تلاش عددي لازم براي حل سيستم كاهش يافته از درجة r (معادلة (1-3-3)) به طور معمول در مقايسه با سيستم اصلي كامل از درجة n (معادلة (6-2-3)) بسيار ناچيز مي باشد.

از آنجايي كه بردارهاي ريتز وابسته به بار صورت خودكار در كسري از تلاش عددي لازم براي محاسبة بردارهاي ويژة سيستم اصلي توليد مي شوند، راهكار مؤثري براي كاهش سيستمهاي سازه اي سه بعدي مانند، خاك/سازه، سد/مخزن و سكوهاي دريايي كه تلاش عددي زياد و گرانبهايي براي حل به طريق مساله مقدار ويژة كلاسيك لازم دارند، مي باشد.

4-3- تاثير فرمول بندي اجزاي محدود بر ايجاد بردارهاي ريتز وابسته به بار

سه المان بنيادي در ايجاد بردارهاي ريتز وابسته به بار، همانگونه كه در شكل 1-3 نشان داده شده است، ماتريس‌هاي جرم، سختي و توزيع بار مي باشد. ماتريسهاي جرم سختي در حالت عادي متقارن و مثبت معين مي باشد هر چند ممكن است دو استثناي زير به وجود آيد:

- اگر سازه بتواند آزادانه به صورت يك جسم صلب حركت كند (مانند هواپيما و يا كشتي) در اين حالت ماتريس سختي مثبت و نيمه معين و از رتبة n-b مي باشد كه b تعداد حركات مستقل جسم صلب مي باشد.

- اگر هيچ جرمي به بعضي جابجايي‌هاي گرهي اختصاص داده نشده باشد رديفها و ستونهاي كاملا صفر در ماتريس جرم ايجاد مي شود و ماتريس جرم منفرد خواهد بود.

- براي برخورد با مساله ماتريس سختي با رتبة معيوب (n-b)، ماتريس مثبت معين جابجا شده اي به صورت زير

(1-4-3)

را مي توان به جاي ماتريس [K] اصلي به كار برد. شيوة بردارهاي ريتز وابسته به بار از نظر تئوري همان بردارها را، هر چند با ترتيبي متفاوت، براي هر ماتريس جابجا شده دلخواه به فرم معادلة (1-4-3) ايجاد خواهد كرد. بردارهاي ريتز وابسته به بار به گونه اي خواهند بود مقادير ويژه ماتريسهاي سيستم كاهش يافته و بردارهاي ويژه متناظر آنها ريشه‌هاي مدل فيزيكي را نزديكتر به نقطة مشخص شده مورد علاقه از طيف ويژة، ،تخمين مي زنند.

تعداد كل بردارهاي وابسته به بار مستقل كه مي توانند ايجاد شوند، شامل هرگونه مود جسم صلب موجود، برابر رتبة ماتريس جرم ،s، مي باشد. بنابراين، اندازة‌ مساله كاهش يافته، r، نمي تواند از s بزرگتر باشد.

در پايان بايد به اين نكته توجه شود كه براي سيستم‌هاي بزرگ و يا كلاس ويژه اي از مسائل، روشهاي كاهش مختصات مانند تراكم استاتيكي و تكنيكهاي زير سازه‌سازي مي توانند مقدم بر اعمال الگوريتم بردارهاي ريتز وابسته به بار، براي دستيابي به ماتريسهاي سيستمي([M],[K],{f}) كوچكتر مورد استفاده در روند محاسبات بردارها، استفاده شوند. مزاياي اين چنين روندهاي حل بايد با دقت كامل ارزيابي شوند تا تعداد عمليات لازم براي حل را افزايش ندهند.

1-4-3- ماتريس جرم

دو روش براي ارائه ماتريس جرم در روش اجزاي محدود وجود دارد. اول، يك ماتريس (ثابت) پايدار جرم، بر اساس همان توابع شكلي كه براي فرمول بندي ماتريس سختي استفاده شده اند، مي تواند مورد استفاده قرار گيرد. با بيان در قالب انرژي، اين بدان معناست كه ارائه انرژي جنبشي هماهنگ با انرژي پتانسيل مي باشد. فركانسهاي ويژه اي كه با استفاده از ماتريس جرم ثابت و تحليل ارتعاش آزاد بدست مي آيند همگي فراتر از مقادير دقيق متناظر بر مبناي تحليل تئوري حقيقي ريلي – ريتز مي باشند.

از آنجايي كه رفتار ديناميكي سازه حساسيت كمتري نسبت به توزيع جرم در مقايسه با حساسيت نسبت به توزيع سختي دارد، اين امكان نيز وجود دارد كه جرم گسترده سازه و مصالح غير سازه اي را با گروهي از جرمهاي نقطه اي كه در گره‌ها واقع هستند جايگزين كنيم. اگر اين گونه ارائه جرم متمركز شده انتخاب شود، همانگونه كه اين حالت عمومي در سازه‌هاي مهندسي عمران مي باشد، مرزي براي فركانسهاي ويژه قابل بيان نمي باشد. صحت نتايج هم ممكن است به همان خوبي باشد زيرا استفاده از ماتريس متمركز شده تمايل به افزايش مقسوم عليه در خارج قسمت رايلي، در مقايسه با روش پايدار، دارد و باعث جابجايي پاسخ به سمت نقطه شروع طيف مي گردد.

مزاياي محاسباتي در استفاده از جرمهاي متمركز شده آشكار هستند. مقدار حافظه مورد احتياج كمتر و تعداد عمليات كمتر براي توليد بردارهاي ريتز وابسته به بار. به علاوه، اين مطلب بدين‌گونه قابل بيان شدن است كه استفاده از فرمول بندي ثابت جرم فقط هنگامي ارزش دارد كه وجود ضرايب همزمان سازي جرم مقدار عمليات محاسباتي لازم را به طور قابل ملاحظه اي افزايش ندهد، در غير اين صورت همان مقدار عملياتي كه به حل مساله اختصاص داده شده ، با تعداد بيشتري از متغيرهاي پايه ممكن است سودمندتر باشد. چندين امكان در صورت استفاده از جرمهاي متمركز شده در تركيب بردارهاي ريتز وابسته به بار براي انتخاب بردارهاي پايه وجود دارد. براي مثال با افزايش تعداد جرم‌هاي متمركز شده، در حاليكه تعداد بردارهاي ريتز وابسته به بار را ثابت نگه داريم، بايد حل دقيق تر و صحيح تري بدون افزايش قابل توجه تلاش عددي ارائه كند.

2-4-3- بردار بارگذاري

صحت مبناي (پاية) بردارهاي ريتز وابسته به بار كه قرار است در كاهش مختصات يا بر هم نهي مستقيم برداري استفاده شوند به طبيعت بارگذاري سيستم مرتعش بستگي دارد. در حالت كلي، مقدار هر مؤلفه بردار، همانگونه كه توسط مختصات‌هاي متناظر ريتز وابسته به بار بيان مي شود، به ارائه هر دو عامل توزيع مكاني بار كه به وسيله بردارهاي مبناي كوتاه شده و محتواي فركانس بار اعمالي در مقايسه با فركانسهاي باقي ماندة سازه، بستگي دارد.

1-2-4-3- محتواي فركانسي

اثر فركانس همانند شكل 2-3 قابل تصوير شدن مي باشد كه از مرجع (11) گرفته شده است و مشاركت نسبي نيروهاي الاستيك و اينرسي را در يك سيستم تك درجة آزادي بدون ميرايي را در مقابله با بارهاي اعمالي كه در اينجا يك بار‌هارمونيك است، نشان مي دهد.

نتايج حاصله از مطالعة پاسخ اين سازة يك درجه آزادي، براي تحليل نمودن سازه‌هاي چند درجة آزادي نيز مناسب مي باشد زيرا پاسخ كامل با برهم نهي كامل پاسخ اندازه گيري شده براي هر مختصات ريتز كه مانند يك سيستم تك درجه آزادي با آن برخورد مي شود حاصل مي شود و نيز بارگذاري واقعي را مي توان، با تجزيه فوريه، به صورت برهم نهي مؤلفه‌هاي‌هارمونيك سينوسي و كسينوسي بدست آورد.

مشاهده مي شود كه نيروي مقاوم اينرسي تنها براي مودهاي با فركانس پايين كافي مي باشد درحاليكه براي مودهاي با فركانس‌هاي بزرگتر از حدود 3 برابر فركانس بارگذاري مقاومت اصولاً الاستيك است كه اين بيانگر اين مطلب است كه مقاومت مودهاي بالاتر به عنوان يك مساله استاتيك قابل محاسبه هستند.

شكل 2-3- نيروهاي اينرسي و الاستيك در مقابل فركانسهاي مدي

 

2-2-4-3- توزيع مكاني

هنگامي كه معادلات تعادل ديناميكي سيستم كاهش يافته را تشكيل مي دهيم، بار ديناميكي به صورت زير محاسبه مي شود:

(2-4-3)

با توجه به معادلة (1.15) {F_i}^* ناچيز خواهد بود، اگر توزيع مكاني بار خارجي {f(s)} و بردار شكل {X_i} كاملا نامتشابه باشند و اين بردار را مي توان بدون كاهش صحت از پاسخ حذف كرد.

يك مثال مهم براي اينگونه رفتار در بارگذاري زلزله يافت مي شود كه بارگذاري زلزله در كل سازه توزيع مي شود و به طور مؤثري تنها با مودهاي پايين تر اندر كنش دارد.

هر چند بارهاي خارجي كه بر نقاط خاصي از سازه وارد مي شوند تمايل به مشاركت با تمامي مدها دارند و هيچكدام به صورت دلخواه قابل حذف شدن نيستند. اگر بارگذاري اساساً فركانس پايين باشد، ايدة شكل قبل قابل اعمال است و مدهاي بالاتر همانند بارهاي استاتيكي پاسخ خواهند داد.